Prueba de hipótesis para la igualdad de proporciones con 3 muestras

Question

Tengo un conjunto de datos de información de clientes de telefonía móvil con dos columnas. La primera columna contiene la categoría determinada en la que se encuentra una cuenta (ya sea A, B o C) y la segunda columna contiene un valor binario para saber si esa cuenta ha sido cancelada.

A | cancelled
C | active
B | active
A | cancelled

Lo que quiero hacer es una especie de prueba de hipótesis para comprobar si la proporción de cuentas de tipo A, B y C es diferente para las cuentas activas frente a las canceladas, siendo la hipótesis nula que son iguales. Así que es como una prueba de hipótesis para las proporciones, excepto que no sé cómo hacer esto para 3 valores

Answer 1

Voy a basar mi respuesta en general y a insertar comentarios sobre cómo encaja su problema en el marco de las pruebas. En general, podemos probar la igualdad de proporciones utilizando un $\chi^2$ prueba en la que la hipótesis nula típica, $H_0$ es la siguiente:

$$H_0:p_1=p_2=...=p_k$$

es decir, todas las proporciones son iguales entre sí. Ahora, en su caso, la hipótesis nula es la siguiente

$$H_0:p_1=p_2=p_3$$ y la hipótesis alternativa es $$H_A:\text{ at leat one }p_i\text{ is different for }i=1,2,3$$

Ahora, para llevar a cabo la $\chi^2$ necesitamos calcular el siguiente estadístico de prueba: El valor del estadístico de prueba es

$$\chi^2=\sum_{i=1}^n\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$$

donde

• $\chi^2$ = el estadístico de prueba acumulativo de Pearson, que se aproxima asintóticamente a $\chi^2$ distribución
• $O_i$ = la frecuencia observada
• $E_i$ = una frecuencia esperada (teórica), afirmada por la hipótesis nula
• $n$ = el número de celdas de la tabla

En su caso $n=6$ ya que podemos pensar que este problema es la siguiente tabla:

Ahora, una vez que tenemos la estadística de la prueba, tenemos dos opciones de cómo proceder para completar nuestra prueba de hipótesis.

Opción 1) Podemos comparar nuestra prueba estática $\chi^2$ al valor crítico apropiado bajo la hipótesis nula. Es decir, si $H_0$ es verdadera, entonces a $\chi^2$ estadística de una tabla de contingencia con $R$ filas y $C$ las columnas deben tener un $\chi^2$ distribución con $(R-1)\times(C-1)$ grados de libertad. Después de calcular nuestro valor crítico $\chi^*$ si tenemos eso $\chi^2>\chi^*$ entonces rechazaremos la hipótesis nula. Evidentemente, si $\chi^2\leq\chi^*$ entonces no rechazamos la hipótesis nula.

Gráficamente (todos los números son inventados) es lo siguiente:

A partir del gráfico, si nuestra estadística de prueba $\chi^2$ corresponden al estadístico de prueba azul, entonces no podríamos rechazar la hipótesis nula ya que este estadístico de prueba no cae dentro de la región crítica (es decir, $\chi^2<\chi^*$ ). Alternativamente, el estadístico de prueba verde sí cae dentro de la región crítica, por lo que rechazaríamos la hipótesis nula si hubiéramos calculado el estadístico de prueba verde.

En su ejemplo, sus grados de libertad son iguales a $$df = (R-1)\times(C-1)=(2-1)\times(3-1)=1\times2=2 $$

Opción 2) podemos calcular el valor p asociado con el estadístico de prueba bajo la hipótesis nula y si este valor p es menor que entonces algún valor especificado $\alpha$ -entonces podemos rechazar la hipótesis nula. Si el valor p es mayor que el $\alpha$ -entonces no podemos rechazar la hipótesis nula. Obsérvese que el valor p es la probabilidad de que un $\chi^2_{(R-1) \times(C-1)}$ es mayor que la estadística de la prueba.

Gráficamente tenemos que

donde el valor p se calcula como el área que es mayor que nuestra estadística de prueba (el área sombreada en azul en el ejemplo).

Por lo tanto, si $\alpha>\text{p-value}$ entonces no se rechaza la hipótesis nula $H_0$ si no,

si $\alpha\leq\text{p-value}$ el rechazo de la hipótesis nula $H_0$