Pueden conectado a un plano compactum menos un punto de estar totalmente desconectado?

Question

Lo que el título dice. En un poco más pausado de la moda:-

Deje que $X$ ser un equipo compacto, conectado subconjunto de $\mathbb{R}^2$, con más de un punto, y dejar que $x\in X$. Se puede decir que $X\smallsetminus\{x}$ estar totalmente desconectado?

Tenga en cuenta que el Knaster-Kuratowski ventilador muestra que, en ausencia de la compacidad, la hipótesis de la respuesta puede ser "sí".

Para dar crédito donde es debido, esta pregunta fue inspirado por uno de los que me preguntaron por Barry Simon.

Answer 1

Dos grandes respuestas ya han sido dados, y yo no pretendo agregar mucho, pero aquí es algo de todos modos.

Totalmente desconectado localmente compacto Hausdorff espacio tiene una base de clopen conjuntos, de acuerdo con la Proposición 3.1.7 de Arhangel'skii y Tkachenko, por ejemplo. Un conjunto cerrado en $X\{a\}$ no necesita ser cerrado en $X$, pero si $X$ es un espacio métrico, a continuación, el clopen subconjuntos de $X\{a\}$ en positivo de la distancia a $un$ será clopen en $X$. Por lo tanto, si $X$ es un espacio métrico compacto con más de un punto y $X\{a\}$ es totalmente desconectados, entonces $$ X no está conectado.

Answer 2

Ser plana no tiene nada que ver con el problema. Supongamos que una totalmente desconecta $X$ y elegir $b$ diferentes de $a$. Pasando a un sub continuo, asumir que no hay una buena sub continuum contiene tanto $a$ y $b$. No vacío discontinuo abrir conjuntos de $U$ y $V$, cuya unión es de $ X\sim$. WLOG $b$ en $U$, y observar que $U\cup \{a\}$ es cerrado y conectado.

Answer 3

Vamos a denotar por $U_n\subconjunto \mathbb R^2$ una secuencia de abrir delimitada neigborhoods de $X$, de modo que $$U_{n+1}\subconjunto U_n\ \ \text{y}\ \ \bigcap_n U_n=X.$$ Podemos suponer que la totalidad de los $U_n$ son connceted y, por tanto, trayectoria-conectado. Coose un punto $p\in X$ municipio de $x$ y considerar la posibilidad de una secuencia de rutas de $\gamma_n$ en $U_n$ $p$ $x$. Revisión $\epsilon>0$ tal que $\epsilon<|p-x|$. Para cada ruta de elegir el smalest valor de $t_n\in[0,1]$ para $|\gamma_n(t_n)-x|=\epsilon$. La imagen $Z_n=\gamma([0,t_n])$ está conectado conjunto compacto. Let a $Z$ ser un Hausdorff límite de una larga de $Z_n$. Tenga en cuenta que $Z$ es un compacto conectado subconjunto de $X$. Claramente, $Z\no\ni x$ y contiene al menos dos puntos; una contradicción