Calcular $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}} ( \mathbb{Q}, \mathbb{Z})$

Question

Creo que esta pregunta podría ser un poco idiota, sin embargo yo no podía resolver esto después de algunas horas. Necesito encontrar todos los homomorphism entre el grupo aditivo $\mathbb{Q}$ y el grupo aditivo $\mathbb{Z}$, es decir, $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}} ( \mathbb{Q}, \mathbb{Z})$. Traté de encontrar un buen conjunto de generadores para $\mathbb{Q}$, sin embargo, ninguno de ellos satisfecho general homomorphism.

Answer 1

Deje $\varphi: \mathbb Q \rightarrow \mathbb Z$ supongamos que $\varphi$ no es trivial. Deje $n$ ser el menor entero positivo en $\mathrm{im}\; \varphi$. Pick $a/b \in \varphi^{-1}(n)$. Entonces

$$n=\varphi(a/b)=\varphi(a/2b+a/2b)=\varphi(a/2b)+\varphi(a/2b),$$

por lo $\varphi(a/2b)=n/2$, pero esto es imposible, porque la $n$ fue el menor entero positivo en la imagen. Por lo tanto, ningún no-trivial homomorphisms existen.

Answer 2

$\,\Bbb Q\,$ es un múltiplo de grupo , por lo que es cualquiera de sus homomórfica imágenes. Pero $\,\Bbb Z\,$ es no un múltiplo de grupo (por qué?) debe ser que la imagen de cualquier grupo homomorphism $\,\Bbb Q\to\Bbb Z\,$ es el subgrupo trivial (que, por CIERTO, es el único grupo finito que es divisible y el único subgrupo de $\,\Bbb Z\,$ que es divisible), y por lo tanto $\,\operatorname{Hom}_{\Bbb Z}(\Bbb Q,\Bbb Z)=0\,$