Encontrar la expansión de $\det(I+\epsilon A)$ donde $\epsilon$ es pequeña, sin el uso de autovalor.

Question

Me estoy tomando un curso de álgebra lineal y el profesor incluido el problema que probar $$ \rm{det}(I+\epsilon A) = 1 + \epsilon\,\rm{tr}\,Un + o(\epsilon) $$ Ya que el profesor no ha cubierto el concepto de valor propio, no somos recomendable mencionar autovalor en la solución. Cómo probar la ecuación utilizando solamente teorema de Laplace?

Answer 1

Tomamos nota de que el determinante es definido por la fórmula de Leibniz:

$$\det(\mathbf{I}+\epsilon\mathbf{A})=\sum_{\sigma \in S_{n}}\prod_{i=1}^{n}(\mathbf{I}+\epsilon \mathbf{A})_{i,\sigma_{i}} \cdot \operatorname{sgn}(\sigma)$$

Tomamos nota de que, a lo largo de la diagonal principal tenemos:

$$\prod_{i=1}^{n}(\mathbf{I}+\epsilon \mathbf{A})_{i,i}=1+\epsilon (A_{11}+\cdots+A_{nn})+\mathcal{O}(\epsilon^{2})$$

Y a lo largo de las otras posibles permutaciones tenemos en el mejor de los $\mathcal{O}(\epsilon^{2})$ como debe ser al menos de 2 entradas fuera de la diagonal para que sea una vaid de permutación. Por lo tanto, podemos decir:

$$\det(\mathbf{I}+\epsilon\mathbf{A})=1+\epsilon\operatorname{Tr}(\mathbf{A})+\mathcal{O}(\epsilon^{2})$$

Como se requiere.

Answer 2

Considere la posibilidad de que esta expresión del determinante: $$ \det(B) = \sum_{\sigma \en S_n} (-1)^\sigma \prod_{i=1}^n b_{i,\sigma_i} $$

Para $\sigma=id$, tenemos el término $b_{11}b_{22}\cdots b_{nn}$. Ahora tome $B=I+\epsilon A$ e este término se convierte en $(1+\epsilon a_{11})(1+\epsilon a_{22})\cdots(1+\epsilon a_{nn})=1+\epsilon \, \rm{tr}\,A+$ superior en términos de pedido.

Todos los otros términos en la expresión anterior contener $\epsilon^{2}$.

Answer 3

La forma de hacerlo dependerá de que las caracterizaciones de los determinantes de la función que hemos visto. Uno de esos es $$ \sum\left\{ \prod_{k=1}^n (\pm1)a_{k,\sigma(k)} : \sigma\text{ permutes }\{1,\ldots,n\} \right\} $$ donde el signo es $+1$ si $\sigma$ es una permutación y $-1$ si es impar. Al $\sigma$ es la identidad de permutación, el producto es $$ (1+\varepsilon a_{11})\cdots(1+\varepsilon a_{nn}) = 1 + \varepsilon(a_{11}+\cdots+a_{nn}) + \varepsilon^2(\cdots) + \varepsilon^3(\cdots)+\cdots. $$ Al $\sigma$ es cualquier otra permutación, a continuación, el producto se $$ \varepsilon a_{k,\sigma(k)} \varepsilon a_{j,\sigma(j)}\cdots+\cdots, $$ es decir, hay al menos dos índices de $k$ que $\sigma(k)\ne k$, por lo que el $\varepsilon^2$ es un factor determinante en este plazo. Por lo tanto el determinante es $$ 1+\varepsilon\operatorname{tr}(A)+(\text{términos de grado $\ge2$$\varepsilon$}). $$