Demostrar que $H = \{x \in G \mid x=x^{-1}\}$ es un subgrupo.

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano. Demostrar que $H = \{x \in G \mid x=x^{-1}\}$ es un subgrupo. ( $x^{-1}$ es $x$ inversa)

para comprobar si la identidad es un elemento del subgrupo: $ex=x$ ; $(e^{-1})ex=(e^{-1})x$ ; $ex=(e^{-1})x$ ; $e=e^{-1}$ .

Para comprobar el cierre: aquí es donde no estoy seguro de saber lo que estoy haciendo. Para comprobar el cierre, necesito demostrar que... $(ab)x=(ab)^{-1}(x^{-1})$ ? Dejemos que $a,b\in H$ , $(ab)(ab)= e$ si $(ab)=(ab)^{-1}$ . De ahí podemos obtener $(aa)(bb)=e$ porque tenemos conmutatividad y asociatividad de nuestro grupo. Sabemos que $a=a^{-1}$ , $b=b^{-1}$ Así que $(aa^{-1})(bb^{-1})=e$ , $ee=e$ ; $e=e$ . Así que... $(ab)=ab^{-1}$ . Si lo introduzco en $(ab)x=(ab)^{-1}(x^{-1})$ y decir que $(ab)x=(ab)(x^{-1})$ . Si dejara multiplicar con un $(ab)^{-1}$ Me sale $x=x^{-1}$ . Que es con lo que empecé así que... ¿He terminado?

Para comprobar las inversiones: el grupo incluye las inversiones por definición del grupo.

H es cerrado, incluye la identidad y los inversos, por lo que es un subgrupo de $G$ .

Answer 1

Si conoces los homomorfismos, entonces $H=\ker \phi$ , donde $\phi(x)=x^2$ que es un homomorfismo porque $G$ es abeliana. (En realidad, sif $\phi$ es un homomorfismo $G$ es abeliano).