Deje que $\cal C$ ser un círculo en ${\mathbb R}^2$ : $\cal C=\lbrace (x,y)\in{\mathbb R}^2 | (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\rbrace$ para algunos las constantes de $x_0,y_0,r$.
¿Cuál es el número máximo de puntos que puede estar contenida en ${\cal C}\cap {\mathbb Z}^2$ ? Suponemos que es de $4 dólares, alcanzado por el "trivial" caso $x_0=y_0=0,r=1$.
La unidad de círculo centrado en el origen, puede ser parametrizada por $$x=\frac {1-t^2}{1+t^2}; y=\frac {2}{1+t^2}$$
Cualquier valor racional de $t$ da racional valores de $x$ y $y$. Esto puede ser escalado por un factor $r$ a darle un círculo de radio $r$.
Elegir $n$ de dichos puntos, y, a continuación, elija un radio que borra todos los denominadores - el resultado círculo tendrá, al menos, $n$ entero puntos.
No hay límite superior. En el círculo:
$$ x^2+y^2 = 5^k $$ hay exactamente $4k+4$ celosía puntos. Que se deduce del hecho de que el número de representaciones de $n$ $x^2+y^2$ es dada por cuatro veces multiplicativo función que depende de la cantidad de divisores de la forma $4k+1$ y el número de divisores de la forma $4k+3$.
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