Como mencioné en los comentarios, una dirección es fácil: si el polinomio mínimo no es igual al polinomio característico (hasta el término principal), entonces su grado es estrictamente menor que $ \dim (V)=n$ entonces cada $T$ -El subespacio cíclico tiene una dimensión como mucho $m$ (el grado del polinomio mínimo), por lo tanto no puede igualar a todos los $V$ . Por lo tanto, si el polinomio mínimo no es igual al polinomio característico, entonces $V$ no puede ser $T$ -cíclico (lo que significa que no es un cíclico $k[x]$ -módulo).
La inversa, sin embargo, es más sutil. Supongamos que el polinomio mínimo es igual al polinomio característico. Eso significa que para cada polinomio $p(t)$ de grado estrictamente menor que $n$ , $p(T)$ no es idénticamente cero; es decir, para cada polinomio $p(t)$ de grado estrictamente menor que $n$ existe un vector $v$ de tal manera que $p(T)(v) \neq 0$ . Esto hace no sin embargo, en sí mismo, implica que hay un vector $v$ de tal manera que para cada polinomio $p(t)$ de grado estrictamente menor que $n$ tenemos $p(T)(v) \neq 0$ . Sólo porque para cada polinomio hay un vector que funciona, no se deduce que haya un vector que funcione para cada polinomio.
En vez de eso, necesitamos trabajar un poco más duro. Tenemos que mostrar que $V$ tiene un $T$ -subespacio cíclico cuya dimensión es igual a la del polinomio mínimo.
Escribe el polinomio mínimo como producto de los poderes de los distintos polinomios irreductibles: $$m(t) = \phi_1 (t)^{k_1} \cdots\phi_r (t)^{k_r}.$$ El primer paso es, para cada $i$ para encontrar un vector $v_i$ cuyo aniquilador es $ \phi_i (t)^{k_i}$ y no hay una potencia menor de $t$ .
Considere $$K_{ \phi_i } = \{v \in V \mid \text {there exists }p \text { such that } \phi_i (T)^p(v)=0\}.$$ Luego $V=K_{ \phi_1 } \oplus K_{ \phi_2 } \oplus\cdots\oplus K_{ \phi_r }$ (esto es válido tanto si el polinomio mínimo es igual al polinomio característico como si no).
Ahora deja que $S_i$ ser la colección de todos $p$ de tal manera que existe $v \in K_{ \phi_i }$ de tal manera que $ \phi_i (t)^{p}(v)=0$ pero $ \phi_i (t)^{p-1}(v) \neq 0$ . Es fácil verificar que $S_i$ es finito, ya que podemos tomar una base arbitraria para $K_{ \phi_i }$ y simplemente tomar los exponentes correspondientes a una base. Dejemos que $M$ ser el máximo; entonces $ \phi_i (t)^M$ aniquila $K_{ \phi_i }$ . Eso significa que $$ \frac {m(t) \phi_i (t)^M}{ \phi_i (t)^{k_i}}$$ aniquila $V$ lo que significa que este polinomio es un múltiplo del polinomio mínimo. Por lo tanto $M \geq k_i$ pero también es fácil comprobar que $ \phi_i (t)^{k_i}$ aniquila $K_{ \phi_i }$ así que $M=k_i$ . Por lo tanto, existe un vector $v_i \in K_{ \phi_i }$ de tal manera que $ \phi_i (t)^{k_i}(v_i)=0$ pero $ \phi_i (t)^{k_i-1}(v_i) \neq 0$ .
Ahora tenemos lo siguiente:
Teorema. Deje que $V$ ser un espacio vectorial, $T$ un operador lineal en $V$ y dejar que $w_1$ , $w_2$ ser dos vectores. Supongamos que el $T$ -annihiladores $p_1(t)$ y $p_2(t)$ de $w_1$ y $w_2$ (respectivamente) son relativamente primos. Entonces el $T$ -aniquilador de $w_1+w_2$ es $p_1(t)p_2(t)$ .
Prueba. Para mostrar que $p_1(T)p_2(T)$ aniquila $w_1+w_2$ es sencillo, ya que $p_1(T)p_2(T)=p_2(T)p_1(T)$ .
Tenga en cuenta que si $W_1$ es el $T$ -subespacio cíclico generado por $w_1$ y $W_2$ es el $T$ -subespacio cíclico generado por $w_2$ Entonces $W_1 \cap W_2=\{0\}$ ya que cualquier vector en la intersección debe ser aniquilado por ambos $p_1(T)$ y $p_2(T)$ por lo que su aniquilador debe dividir su GCD, que es $1$ .
Deje que $f(t)$ y $g(t)$ ser polinomios tales que $f(t)p_1(t)+g(t)p_2(t)=1$ . Luego $f(T)p_1(T)$ es la proyección de $W_1 \oplus W_2$ en $W_2$ nota que $$f(T)p_1(T)(T^i(w_1)) = T^i(f(T)p_1(T)(w_1)) = T^i(f(T)(0)) = 0,$$ y $$f(T)p_1(T)(T^j(w_2)) = T^j \Bigl ( \bigl (1 - g(T)p_2(T) \bigr )(w_2) \Bigr )= T^j(w_2).$$
Considere el $T$ -subespacio cíclico generado por $w_1+w_2$ . Es $T$ -invariante, por lo que también es invariante bajo $f(T)p_1(T)$ ; por lo tanto $w_2 = f(T)p_1(T)(w_1+w_2) = w_2$ se encuentra en el $T$ -subespacio cíclico generado por $w_1+w_2$ y, por lo tanto, también lo hace $W_1$ ; ya que $w_1+w_2$ y $w_1$ yacen en el espacio, así que $w_2$ y por lo tanto también contiene $W_2$ . Por lo tanto, tenemos que el $T$ -subespacio cíclico generado por $w_1+w_2$ contiene $W_1 \oplus W_2$ y por lo tanto debe ser igual a ella.
Finalmente, la dimensión de $W_1 \oplus W_2$ (que es el $T$ -subespacio cíclico generado por $w_1+w_2$ ) es igual a la suma de los grados de $p_1(t)$ y $p_2(t)$ ya sabemos que $p_1(t)p_2(t)$ aniquila el espacio, por lo tanto es un múltiplo de la $T$ -aniquilador de $w_1+w_2$ . Ya que el aniquilador tiene el mismo grado que $p_1(t)p_2(t)$ y ambos son monos, de lo que se deduce que $p_1(t)p_2(t)$ es el $T$ -aniquilador de $w_1+w_2$ como se desea. QED
Corolario. Deje que $V$ ser un espacio vectorial, $T$ un operador en $V$ y dejar que $w_1, \ldots ,w_n$ ser vectores en $V$ con los correspondientes $T$ -annihiladores $p_1(t), \ldots , p_n(t)$ . Si el $p_i(t)$ son, por pares, relativamente primos, entonces el $T$ -aniquilador de $w_1+ \cdots +w_n$ es $p_1(t) \cdots p_n(t)$ .
Al juntar todo esto, lo hemos hecho:
Teorema. Deje que $V$ ser un espacio vectorial de dimensiones finitas, que $T$ ser un operador en $V$ y dejar que $m(t)$ ser el polinomio mínimo de $T$ . Luego $V$ tiene un $T$ -subespacio cíclico de dimensión $ \deg (m(t))$ .
Prueba. Escriba $m(t)= \phi_1 (t)^{k_1} \cdots \phi_r (t)^{k_r}$ como producto de los poderes de los polinomios irreductibles de dos personas. Sabemos que para cada $i$ hay un vector $v_i$ cuyo $T$ -El aniquilador es $ \phi_i (t)^{k_i}$ . Por el teorema de arriba, el $T$ -aniquilador de $v=v_1+ \cdots +v_r$ es $ \phi_1 (t)^{k_1} \cdots \phi_r (t)^{k_r}=m(t)$ y en particular el $T$ -subespacio cíclico generado por $v$ tiene una dimensión $ \deg (m(t))$ como se desea. QED
Ahora se deduce que si el polinomio mínimo tiene grado $ \dim (V)$ entonces existe un vector $v$ de tal manera que ningún polinomio de grado estrictamente menor que $m(t)$ será $T$ -Aniquilar $v$ así que $v$ es testigo del hecho de que $V$ es $T$ -cíclico (y por lo tanto $k[x]$ -cíclico bajo la acción definida).
