El cálculo de $\sqrt{-1}$

Question

. . . mod $p$, por supuesto, para $p$ el primer y el igual a 1 mod 4.

Para cualquier prime $p$ que es 1 mod 4, $-1$ tiene una raíz cuadrada en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Pero pronto frustrante para encontrar el valor exacto de $\sqrt{-1}$ $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ a mano. Mi pregunta es: ¿hay una ingeniosa manera de hacer esto?

Para hacer este preciso, permítame hacerle una pregunta yo estoy seguro que la respuesta es no:

Hay una escuela primaria de la función $f$ tal que, para cada uno de los prime $p$ que es 1 mod 4, tenemos $[f(p)]^2=-1$ (mod $p$), donde $[\cdot]$ es el más cercano "entero" de la función?

(Estoy usando el significado preciso de "función primaria" aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_function. Tenga en cuenta que funciones elementales, en general, tomar valores en $\mathbb{C}$; para ajustar el "entero más cercano" que funcione de forma adecuada: para $c$ complejo, $[c]$ es el menor entero $z\in\mathbb{Z}$ (no $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}i$) tal que $\vert c-z\vert$ es mínimo.)

Answer 1

Si $p=4k+1$ $f(p)=(2k)!$ tiene esta propiedad.

Prueba: Por Wilson del teorema, $(p-1)! \equiv -1$, lo $(4k)! \equiv -1$.

Además, $$(4k)!=(1)(2)\ldots (2k)(2k+1)(2k+2)\ldots (4k-1)(4k)$$ $$ =(1)(2)\ldots(2k)(p-2k)(p-(2k-1))\ldots(p-1)$$ $$ \equiv (1)(2)\ldots(2k)(-2k)(-(2k-1))\ldots(-1)$$ $$ \equiv (2k)!^2(-1)^{2k} \equiv (2k)!^2$$

Por lo tanto $(2k)!^2 \equiv (4k)! \equiv -1$.

En todos estos cálculos, $\equiv$ se refiere a mod p.

Edit: recuerdo haber leído en Davenport "El Mayor de la Aritmética", que da cuatro diferentes métodos para encontrar las raíces cuadradas de los $-1$, menciona que esto es realmente un muy difícil problema. Voy a darle un vistazo ahora, pero yo creo que si tan elemental función existe, entonces no ha sido descubierto.

Edit 2: acepto la corrección. Davenport ofrece cuatro diferentes métodos de búsqueda de representaciones de $p$ como la suma de dos cuadrados, de no encontrar las raíces cuadradas de los $-1$ mod $p$. Todavía, sin embargo, no creo que un elemental de la función existe. Mi increíblemente no-lógica rigurosa, es que (desde las raíces cuadradas son exclusivos de hasta un signo), si una función primaria existido la que le dio ese valor de $\sqrt{-1}$ mod $p$, entonces eso significaría que la función dada por $f(p)=\left({(\frac{p-1}{2})! \mod p}\right)$ es una función primaria, que no se sienta a la derecha.