Es raro para obtener el mismo número de cabezas/colas?

Question

Una pregunta en la probabilidad de un no-matemático:

Una moneda es lanzada $2N$ veces. Es poco probable que recibimos exactamente $N$ jefes y $N$ colas?

De un lado, este debe ser el resultado más probable! Pero, intuitivamente, si alguien me informa de que tiraron de 2.000.000 de monedas y obtuvo exactamente 1.000.000 de cabezas y 1.000.000 de colas yo sería un poco sospechoso.

Si esto realmente es sospechoso, ¿cómo se compara a resultados sesgados? Obviamente, 2.000.000 de cabezas es mucho más sospechoso resultado. Pero, por lo que el valor de $K$ $N+K$ jefes y $N-K$ colas tan sospechosa como la $N$ jefes y $N$ colas?

Las ecuaciones son muy bienvenidos, pero por favor, intenta proporcionar alguna ayuda en la comprensión de ellos.

AÑADIDO: Henning Makholm la respuesta me ayudó a entender mejor lo que quiero preguntar: yo siempre asumir una moneda buena y quisiera comparar la probabilidad de la división N/N con la probabilidad de obtener cualquiera de los más de más de N+K o menor que N-K cabezas. Por ncmathsadist la respuesta , la probabilidad de que el N/división de N es 1 a través de la raíz cuadrada de N. ¿Qué acerca de la probabilidad de obtener más de más de N+K o menor que N-K jefes? Para qué valor de K (aproximadamente) no es igual a 1/sqrt(n pi)?

ACLARACIÓN: Si f(N) es la probabilidad de obtener un N/N se dividió en 2N lanzamientos de una moneda, y g(N,K) es la probabilidad de obtener más que N+K jefes o menor que N-K cabezas en 2N lanzamientos de una moneda, entonces estoy pidiendo una fórmula que, dado N, se aproxima a los valores de K para cada f(N) es la más cercana a la g(N,K). Esta es una fórmula que toma N y devuelve K así que se puede llamar h(N)=K. Qué tipo de función es h? Mi conjetura de un poco de experementing con el software en línea en Brian M. Scott respuesta es que la función h es aproximadamente la función SQRT, multiplicado por una constante, o algo así.

Answer 1

Es bastante raro si $n$ es grande. La probabilidad de $n$ jefes y $n$ colas es $${2n\choose n} {1\over 4^n}.$$

Tenemos $${2n\choose n} = {(2n)!\over n!n!}.$$

La fórmula de Stirling estados que, como $n$ se convierte en grande, $$n! \sim {n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}},$$ dónde se dice $a_n\sim b_n$ si $a_n/b_n \to 1$$n\to\infty$. Usando esta fórmula,

$${2n\elegir n}{1\over 4^n}\sim {1\over 4^n}\left((2n)^{2n}e^{-2n} \sqrt{4\pi n}\right) \left(1 \\sqrt{2\pi n} n^ne^{-n}\right)^2 $$

Cancelar la exponenciales y el $n^n$s y obtenemos

$${2n\elegir n}{1\over 4^n}\sim {2^{2n}\más de 4^n}{2\sqrt{\pi n}\over 2\pi n } = {1\over \sqrt{n\pi}}.$$

Así que usted puede ver que esta probabilidad se desintegra como $1/\sqrt{n\pi}$ $n$ se hace grande. Así que si $n$ pasa 100 veces más grande, esta probabilidad disminuye por un factor de 10.

Answer 2

Es la más probable es que solo resultado, pero es muy raro, y es menos probable que como $n$ aumenta. Como $k$$0$$n$, los de split $n+k,n-k$ se convierte en algo cada vez más raro. Ya con $n=10$ la probabilidad de que un $10,10$ split está a sólo

$$\frac{\binom{20}{10}}{2^{20}}\approx 0.1762\;,$$

pero un $11,9$ split es menos probable, en $$\frac{\binom{20}{11}}{2^{20}}\approx 0.1602\;,$$ and a $12,8$ split is less likely yet, at $$\frac{\binom{20}{12}}{2^{20}}\approx 0.1201\;.$$

En el momento de llegar a $n=100$, la probabilidad de un split es sólo acerca de la $0.0563$, y la probabilidad de que un $120,80$ split está abajo a cerca de $0.0010$.

Para obtener más información, busque en la distribución binomial; el artículo de la Wikipedia a la que he enlazado da un punto de partida.

Agregado: Para un gran $n$ puede utilizar la aproximación normal a la distribución binomial. Cuando voltee $2n$ monedas justas, que es la distribución normal con una media de $n$ y la desviación estándar $\frac1{\sqrt{2n}}$. Si $n=10^6$, por ejemplo, la desviación estándar es de aproximadamente $1414.21$, y la probabilidad de un split es $\frac1{1000\sqrt{\pi}}\approx 0.000564$. El uso de la segunda calculadora de aquí, con los parámetros de

$$\begin{align*} \text{Mean:}&1000000\\ \text{Sd.:}&1414.21\\ \text{Shaded Area:}&0.000564\\ \text{Outside:}& \end{align*}$$

devuelve $995123.2935\text{ or }1004876.7065$, lo que significa que la probabilidad de obtener menos de $995123.2935$ o más de $1004876.7065$ cabezas es acerca de $0.000564$. Por lo tanto, el $k$ para el cual la probabilidad de obtener una diferencia de más de $2k$ en el número de cabezas y colas es la misma que la probabilidad de un split es acerca de $4877$ al $n=10^6$. Usted puede jugar con la calculadora para obtener $k$ para otros valores de $n$.

Answer 3

La forma más sencilla de responder a la segunda parte de su pregunta es continuar a lo largo de la línea de Brian M. Scott respuesta.

Una feria del tirón de la moneda es una variable de Bernoulli $F$ de parámetro $p=1/2$: devuelve 0 con una probabilidad de $1/2$ $1$ con una probabilidad de $1/2$. La suma de $2N$ coin flips es la suma de $2n$ variables de Bernoulli de parámetro $p$, y que es la definición de la distribución binomial $Bin(2n,p)$.

¿Qué estás preguntando, ¿cuál es la probabilidad de que $Bin(2n,p)=n$, o si queremos cambiar la escala (considerar que la moneda gira se valoran con $-1$$+1$, en lugar de $0$$1$), ¿cuál es la probabilidad de que $(2*Bin(2n,p)-n)=0$. De cualquier manera es una distribución binomial.

Siguiente, si vas a la Wikipedia, como se sugirió anteriormente, se pueden encontrar dos hechos interesantes:

• primero el PDF $f(k)$ y el CDF $F(k)$ de la distribución binomial: básicamente, esto le da la función con la que puedes decir que las dos cosas te he pedido, como la probabilidad de que el número de cabezas y colas son exactamente de la misma es $f(n)$, y la probabilidad de que se desvía por, digamos, el 10% es $F(1.10*n) - F(0.90*n)$;

• segundo, se puede obtener una aproximación más simple: la distribución binomial, como todas las distribuciones que puede ser definida como la suma de la otra, se ve afectada por el Teorema Central del Límite, lo que significa que cuando se $n$ es lo suficientemente grande, la distribución es muy bien aproximar por una normal.

Answer 4

Depende de lo que comparar.

Conseguir 1.000.000 de cabezas es ligeramente más probable que llegar 1,000,023 cabezas. También es ligeramente más probable que llegar 1,000,282 cabezas.

Pero conseguir cualquiera de 1,000,023 o 1,000,282 cabezas juntas más probabilidad de obtener exactamente 1.000.000 de cabezas.

Y obtener "más de 998,000 y menos de 1,002,000 pero no 1,000,000 exactamente" es mucho más probable que conseguir 1.000.000 de cabezas.

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Sin embargo, para cualquier sesgada de la moneda es aún menos probable que usted va a obtener exactamente 1.000.000 de cabezas-entonces, ¿qué se debe sospechar si usted experimenta esto, no es que la moneda es parcial, sino que alguien está activamente la manipulación de la moneda para obtener cabezas y colas incluso mejor de lo que usted tiene derecho a esperar.

Si $N$ es menos un buen número de 1.000.000 (tales como, por ejemplo, 1,371,388) también se debe estar muy sospechoso de cómo ese particular $N$ fue el elegido. Tal vez alguien decidió parar el experimento después de exactamente 2,742,776 arroja exactamente porque en ese momento había el mismo número de cabezas y colas. Si usted está haciendo una larga serie de lanzamientos, entonces es muy probable que haya algunos $N$ entre todos los lugares posibles para detener la serie donde coincidirá exactamente.

Answer 5

Basado en la distribución binomial, la probabilidad de que haya exactamente N cabezas en 2N coin flips es

P(N) = _2NC_N * 0.5^N * 0.5^N = (2N)!/2(N!) * .5^2N

Para una prueba de dos coin flips, hay cuatro posibles combinaciones de resultados (dos cabezas, dos de las colas, de la cabeza/de la cola y la cola/cabeza) por lo que la probabilidad de que exactamente una cabeza y una cola es sólo .5, y que es el más simple no trivial caso. Empeora a partir de ahí, con cuatro moneda para decidir la probabilidad de que dos cabezas es de 6*.25*.25 = .375 = 3/8. Con 8 volteretas, la probabilidad de 4 cabezas son 70*.0625*.0625 ~= .273. 16 volteretas, probabilidad de 8 cabezas = 12870*0.0000152587890625=.19638.

Así que, sí, para cualquier N>1 es más probable que usted no va a obtener exactamente N/cabezales de las colas, y como N crece grande, la probabilidad de obtener exactamente N/cabezales colas de 2N ensayos converge a cero.