Mostrar que $\int^{\infty}_{0}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 < 2$

Question

Estoy tratando de mostrar que esta integral es converge y $<2$ $$\int^{\infty}_{0}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2dx < 2$$ Lo que hice es para mostrar esta expresión:
$$\int^{1}_{0}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2dx + \int^{\infty}_{1}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 dx$$ La segunda expresión :
$$\int^{\infty}_{1}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 dx < \int^{\infty}_{1}\left(\frac{1}{x^2}\right)^2dx = \lim\limits_{b\to 0} {-\frac{1}{x}}|^b_0 = 1 $$ Ahora, por primera expresión necesito encontrar alguna explicación de por qué su $<1$ y voy a demostrarlo.
Me gustaría recibir algunos consejos para la primera expresión. gracias!

Answer 1

Bien, esto probablemente no es lo que tenía en mente, pero que sólo podría evaluar la integral. En este caso, Parseval-el teorema de Plancherel obras:

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx\, |f(x)|^2 = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty} dk\, |\hat{f}(k)|^2$$

donde $\hat{f}$ es la transformada de Fourier de $f$. Para $f(x)=\sin{x}/x$, tenemos

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx\, \left ( \frac{\sin{x}}{x}\right)^2 = \frac{1}{2 \pi} \int_{-1}^1 dk \, \pi^2 = \pi$$

así que

$$\int_0^{\infty} dx\, \left ( \frac{\sin{x}}{x}\right)^2 = \frac{\pi}{2} < 2$$

Answer 2

Sugerencia: $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$$

Answer 3

La respuesta es 0 < 2. Encuentra utilizando la congruencia $\sin^2(x)=\frac {1-\cos(2x)}{2}$. Y la evaluación de $\frac{-1-\cos(2x)}{2x}$ de 0 a infinito. Esto termina siendo el límite de $\frac {\cos^2(x)}{x}$ a medida que x tiende a 0.