Si $G$ es un grupo con el fin de $364$, entonces tiene un subgrupo normal de orden $13$

Question

Estoy un poco atascado en este problema.

Si $G$ es un grupo con el fin de $364$, entonces tiene un subgrupo normal de orden $13$.

He tratado de usar Sylow III, pero todo lo que podría llegar a la conclusión era que el $7$-subgrupo de Sylow en $G$ es normal y de que el número de $13$-Subgrupos de Sylow son $1$ o $14$. Algunas personas me dijeron que me puede hacer esto a través de "conteo de elementos", pero no sé cómo podría hacer eso. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Supongamos $G$ es un grupo de orden $364 = 2^2 \cdot 7 \cdot 13$.

Como se señaló, existe un subgrupo normal $P$ orden $7$ por Sylow de teoremas. Por Cauchy teorema, existe un subgrupo de $K$ orden $13$$G$.

Ahora $P$ es normal, por lo $PK$ es un subgrupo de orden $7 \cdot 13$. Desde $PK$ índice de $4$, existe un homomorphism $\phi: G \rightarrow S_4$$\operatorname{Ker}(\phi)$$PK$. Usted puede ver que esto implica que $\operatorname{Ker}(\phi)$ es igual a $PK$ e lo $PK$ es un subgrupo normal. Ya que cada grupo de orden $7 \cdot 13$ es cíclico y subgrupos normal de un subgrupo cíclico $PK$ también son normales en $G$, el subgrupo $K$ es un subgrupo normal.

Answer 2

Después de la m.k.'s prueba otro. Existe, de hecho, exactamente un $7$-subgrupo de sylow, vamos a llamar a es $S$: es normal en $G$. También hay exactamente un Sylow $13$-grupo en $G/S$ debido a que el número se divide $4$, y ha residuo $1$ modulo $13$. Tomar algún generador de este singular Sylow $13$-subgrupo de $G/S$. Tiene exactamente $7$ antecedentes en $G$. También, cualquier Sylow $13$-subgrupo de $G$ intersecta $S$ trivialmente por lo que los proyectos isomorphically en el único Subgrupo de Sylow de $G/S$. Cada Sylow $13$-subgrupo de $G$, lo que contiene uno de los siete antecedentes mencionados anteriormente, y dos distintos Sylow $13$-subgrupos de $G$ debe intersectar trivialmente, por lo tanto no areat la mayoría de las $7$ Sylow $13$-subgrupos en $G$. Pero no sólo puede ser $1$ o $14$, por lo que no es exactamente una y es normal.