Es la binomial negativa no se pueden expresar como en la exponencial de la familia si hay 2 incógnitas?

Question

Yo tenía una tarea para expresar la distribución binomial negativa como una exponencial de la familia de distribuciones dado que el parámetro de dispersión era un conocido constante. Esto fue bastante fácil, pero me preguntaba por qué se requeriría nos sostuvo que el parámetro fijo. Me encontré con que no podía venir para arriba con una manera de poner en la forma correcta con los dos parámetros que están siendo desconocido.

Buscando en internet, he encontrado afirma que no es posible. Sin embargo, he encontrado ninguna prueba de que esto es cierto. Me parece que no puede venir para arriba con uno mismo. ¿Alguien tiene una prueba de esto?

Como se solicita a continuación, adjunto un par de las declaraciones:

"La familia de distribuciones binomial negativa con un número fijo de fallos (un.k.una. de parada parámetro de tiempo) r es una exponencial de la familia. Sin embargo, cuando cualquiera de las mencionadas fija los parámetros permitidos para variar, la resultante de la familia no es una exponencial de la familia." http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_family

"Los dos-parámetro binomial negativa de distribución no es un miembro de la exponencial de la familia. Pero si tratamos a la dispersión de parámetros como un conocido, constante fija, entonces es un miembro." http://www.unc.edu/courses/2006spring/ecol/145/001/docs/lectures/lecture21.htm

Answer 1

Si usted mira la densidad de la distribución Binomial Negativa contra el conteo de medida en el conjunto de los números enteros, \begin{align*}p(x|N,p)&={x+N-1\choose{N-1}}p^N(1-p)^x\\ &= \frac{(x+N-1)!}{x!(N-1)!}p^N(1-p)^x\\ &= \frac{(x+N-1)\cdots(x+1)}{(N-1)!}\exp\left\{N\log(p)+x\log(1-p) \right\}\\ &= \frac{\exp\left\{N\log(p)\right\}}{(N-1)!}\exp\left\{N\log(p)+x\log(1-p) \right\}(x+N-1)\cdots(x+1)\end{align*} la parte $(x+N-1)\cdots(x+1)$ en esta densidad no puede ser expresado como $\exp\left\{ A(N)^\text{T}B(x)\right\}$.