Los distintos bicicletas dejar los mismos temas?

Question

(preguntado por JST en el Q&a en JMM)

Pueden dos bicicletas de diferentes longitudes de dejar el mismo conjunto de pistas (a un lado de una línea recta)?

[Ed: por favor etiqueta de esta manera apropiada]

Answer 1

La respuesta, creo yo, no es en el caso de la longitud finita de pistas y sí, en el caso de longitud infinita pistas. Voy a mostrar esto en la (probablemente no muy) simplificado caso de asumir que podemos idenitify una rueda trasera de la pista y una rueda delantera de pista de las pistas de la izquierda.

Longitud finita: Vamos a demostrar que si tienen la misma rueda de atrás camino, entonces la longitud de su rueda delantera caminos son diferentes. Deje $\gamma$ ser el arclength la parametrización de la rueda trasera de la ruta. Entonces, para que una bicicleta de longitud $l$, la rueda delantera trayectoria está dado por $\gamma + l\cdot\gamma'$, por lo que podemos calcular su longitud por:

$\int |\gamma' + l\cdot\gamma''|$

Ya que hemos elegido el arclength parametrización, $\gamma'$ $\gamma''$ son ortogonales, por lo que este se convierte en

$\int \sqrt{|\gamma'| + l^2\cdot|\gamma''|^2}$

Y claramente esta cantidad está aumentando con $l$ si $\gamma''$ es idéntica a cero, de la cual sólo se produce por una línea recta. Por lo tanto, dos longitudes diferentes de la bicicleta va a salir de la rueda delantera, pistas de diferentes longitudes, que por lo tanto no puede ser el mismo (nota: me acabo de dar cuenta que esto sólo dice que la distancia recorrida por las dos ruedas delanteras es diferente, pero debido a la superposición tal vez las pistas todavía podría tener la misma longitud. Creo que debemos ser capaces de descuento con esta posibilidad, pero no es inmediatamente obvio para mí exactamente cómo).

Longitud infinita: Vamos a ofrecer una construcción en general. Inicio mediante la fijación de dos bicicletas de diferentes longitudes, llamar la bicicleta 1 y moto 2 de longitudes $l_1$$l_2$. Recoger algunas longitud finita de la curva, se $\gamma_1$ como la primera rueda trasera curva, y deje $\Gamma_1$ la correspondiente rueda delantera de la curva para la bicicleta 1. A continuación tomamos $\gamma_2$$\gamma_1$, seguido por un backwheel de la curva a partir de finales de $\gamma_1$ que si es montado en bicicleta 2 va a terminar con la rueda delantera de la bicicleta 2 seguimiento sobre todos los de $\Gamma_1$ (por supuesto que también traza mucho más). A continuación, $\Gamma_2$ será la rueda delantera de la curva asociada a moto 2 con rueda trasera de la curva de $\gamma_2$. A continuación, vamos a dejar que $\gamma_3$$\gamma_2$, seguido por un backwheel de la curva a partir de finales de $\gamma_2$ que si es montado en bicicleta 1 va a terminar con la rueda delantera de la bicicleta 1 seguimiento sobre todos los de $\Gamma_2$ $\Gamma_3$ será la rueda delantera de la curva asociada a la bicicleta 1 con rueda trasera de la curva de $\gamma_3$. Repetimos este proceso, la alternancia de ida y vuelta entre las bicicletas cada vez añadiendo a la backwheel ruta de lo que necesitamos para cubrir lo que el anterior moto cubierto con su rueda delantera pistas. Este algoritmo puede ser utilizado para producir una longitud infinita backwheel camino que va a dar la misma versión tracción caminos cuando montado por el bien de la bicicleta (se puede considerar que la rueda delantera ruta de acceso de manera abstracta como sólo la extensión a lo largo de la tangente a las líneas de la correspondiente longitud de bicicletas)

Para un interesante relato de bicicletas curvas (incluyendo algunos de la exposición en el modelo de I am implícitamente usando), recomiendo el artículo de Levi y Tabachnikov, "En bicicleta las huellas de los neumáticos de la geometría, el hacha planimeter, Menzin de la conjetura y la oscilación de monociclo pistas", disponible en http://arxiv.org/abs/0801.4396

Answer 2

Yo diría que no, se basa en una muy simple argumento. (Pero en contraste con el de Sean Howe de la respuesta que restringir mi argumento para finito de curvas.) Considere la posibilidad de una bicicleta montado en un círculo. Su radio de $r_1$ es definido por el ángulo de la versión tracción con respecto a la bicicleta. El rearwheel se dibuja un pequeño círculo con un radio de $r_2$. La diferencia de los radios dependerá de la distancia a $d$ de los ejes de la que $d^2 = r_1^2 - r_2^2$.

Ya que cada curva puede considerarse como una aproximación de un círculo, esto implica que las diferentes distancias de los ejes de suministro diferentes curvas para cada $r_1$, excepto cuando la curva es una línea recta, tanto en radios siendo infinito.

Answer 3

Quizás circular pistas también debe ser excluido?

Gerhard "Me Preguntan Sobre El Diseño Del Sistema" Paseman, 2010.01.15