Generación mundial de $\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}(1)$ $\mathcal{E}$

Question

Estoy tratando de demostrar que $\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}(1)$ es generado por el mundial de secciones en $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ si y sólo si $\mathcal{E}$ es generado por el mundial de secciones ($\pi: \mathbb{P}(\mathcal{E}) \to X$ es proyectiva paquete asociados localmente libre gavilla $\mathcal{E}$$X$).

Si $\mathcal{E}$ es gbgs, podemos retirada de la surjection $\mathcal{O}_X^n \to \mathcal{E}$ para obtener un surjection $\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}^n \to \pi^* \mathcal{E}$ (como pullback es derecho exactos), a la que nos podemos componer con natural surjection $\pi^* \mathcal{E} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}(1)$.

Tengo problemas con la dirección opuesta, sin embargo. Supongamos que tenemos un surjection $\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}^n \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}(1)$. Podemos pushforward a través de $\pi$ obtener un mapa $\pi_* \mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}^n \to \pi_*\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}(1)$, pero desde $\pi_* \mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}^n \simeq \mathcal{O}_X^n, \pi_*\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}(1) \simeq \mathcal{E}$, tenemos un mapa de $\mathcal{O}_X^n \to \mathcal{E}$. Como pushforward sólo le queda exacto, realmente no podemos concluir que será surjective así. También, $\pi$ no es afín, de modo más directo las imágenes no tienen que desaparecer.

Cualquier sugerencias?

Answer 1

La relativa cohomology $R^1\pi_* K$ es el sheafification de $U \mapsto H^1(\pi^{-1}(U), K|_{\pi^{-1}(U)})$ así que para mostrar que $R^1$ se desvanece basta para mostrar que la anterior $H^1$ se desvanece en lo suficientemente pequeño como afín a abrir los subconjuntos.

Pick $U= Spec A$ afín abierto y lo suficientemente pequeño para que $\mathcal E|_U$ es trivial, por lo que el $\pi^{-1}(U) = \mathbb P(\Gamma(\mathcal E|_U)) \times U = \mathbb P^r_A$. En este espacio tenemos la breve secuencia exacta $0 \to K|_{\pi ^{-1}(U)} \to \mathcal O_{\mathbb P^r_A}^n \to \mathcal O_{\mathbb P^r_A}(1)\to 0$,

Por inspección directa, se puede ver que cualquier $A$ submódulo $M \subsetneq H^0(\mathcal O_{\mathbb P_A^r}(1))$ tiene un punto de base. (Aproximadamente, hay un punto de $P \in Spec \ A$ tal que a $M_P \neq H^0(\mathcal O_{\mathbb P_A^r}(1))_P$. A continuación, en $\mathbb P^r \times \{P\} \subset \mathbb P^r_A$ tenemos $M \otimes k(P) \subsetneq H^0(\mathcal O_{\mathbb P^r_{k(P)}}(1))$, y en $\mathbb P^r_{k(P)}$ (sobre un campo ahora) es evidente que un adecuado subespacio no puede ser punto de base libre, puesto que hay un punto contenido en la intersección de las $r-1$ hyperplanes. )

Por lo tanto el mapa mundial de las secciones $H^0( \mathcal O^n) \to H^0( \mathcal O(1))$ deben ser realmente surjective. Pero a partir de la larga secuencia exacta en la cohomology y el hecho de que $H^1(\mathcal O_{\mathbb P^r_A}(1)) = 0$, $H^1(K|_{\pi^{-1}(U)})$ es el cokernel de ese mapa. De ahí la relativa deseada cohomology se desvanece, y por lo que $ \mathcal E$ debe ser generado a nivel mundial.