Demostrar que $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \geq 3$ para $x,y,z>0$

Question

Al considerar que $$\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 2$$ Puedo demostrar que $$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y} \geq 6$$

Pero, ¿cómo se puede pasar de aquí a demostrar el resultado requerido? Me parece que ya casi he llegado, pero no veo cómo terminarlo.

Veo que se puede acabar casi instantáneamente con el uso de AM/GM de grado 3, pero ¿cómo se obtendría este resultado sin el uso de dicha herramienta?

Answer 1

Por Desigualdad AM-GM ya que $x,y,z>0$ :

$$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}\frac{y}{z}\frac{z}{x}}=3$$

con igualdad si $\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}$ es decir $x=y=z$ .

Alternativamente, desigualdad de reordenación . $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$ es cíclico - dos casos:

• wlog $x\ge y\ge z$ . Entonces $\frac{1}{z}\ge\frac{1}{y}\ge \frac{1}{x}$ Así que (RHS ordenado de forma opuesta):

  $$x\frac{1}{y}+y\frac{1}{z}+z\frac{1}{x}\ge x\frac{1}{x}+y\frac{1}{y}+z\frac{1}{z}=3$$

• wlog $x\ge z\ge y$ . Entonces $\frac{1}{y}\ge\frac{1}{z}\ge\frac{1}{x}$ Así que (RHS ordenado de forma opuesta):

  $$x\frac{1}{y}+z\frac{1}{x}+y\frac{1}{z}\ge x\frac{1}{x}+z\frac{1}{z}+y\frac{1}{y}=3$$

Answer 2

Se puede utilizar la desigualdad de reordenación ya que $(x,y,z)$ está ciertamente en el orden opuesto de los pares en comparación con $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$ para que sea positivo $x,y,z$ . A su vez, la desigualdad de reordenación se deriva de aplicar repetidamente $ab+cd \ge ad+cb$ siempre que $a \ge c$ y $b \ge d$ .

Por cierto tu desigualdad simétrica es en realidad demasiado débil para poder derivar tu desigualdad original deseada. En general las desigualdades cíclicas necesitan herramientas mucho más fuertes que las simétricas. (En este caso, por supuesto, sólo un AM-GM lo habría hecho).

Answer 3

Una pista.

Considere su cantidad simétrica como una función de $z$ y mira su mínimo para $z>0$