Soy una profesora de secundaria y alguien me preguntó esta en mi clase, y para ser sincera, estoy muy confundido! No he hecho ningún alto nivel de matemáticas en un tiempo tan largo, y realmente no estoy seguro de cómo acercarse a este.
Es la solución, incluso accesible a un estudiante de secundaria?
Gracias por la ayuda.
No es posible, y la prueba puede ser realizada con la trigonometría y una comprensión básica de los números racionales:
Supongamos que el ángulo entre dos vectores $(a,b)$ $(c,d)$ en el avión es $\alpha - \beta$ donde $\alpha$ es el más grande de los dos ángulos de los dos vectores con el $x$-eje y $\beta$ es el menor.
Entonces
$$\tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta} = \frac{ad-bc}{ac+bd}$$
Por lo tanto el $\tan$ de cualquier ángulo entre dos enteros de celosía de vectores es un número racional.
Mediante la división de un octágono regular en 8 triángulos isósceles y buscando en la base de los ángulos de estos 8 triángulos, vemos que necesitamos un ángulo de $3\pi/8$, pero $\tan (3\pi/8) = 1+\sqrt{2}$ que es irracional. Por lo tanto el octágono no es posible.
Nota 1:
El ángulo de $3\pi/8$ que se utiliza en la prueba, en realidad es el ángulo entre un lado del octógono, y un "diámetro" de la octagon, que une dos vértices opuestos. Claramente, el punto final de estas dos longitudes tienen coordenadas enteras si una regularidad (entero) octágono eran posibles.
Nota 2:
Parece que (a juzgar por el comentario de abajo) que mi explicación no ha sido lo suficientemente claro para todo el mundo. NO estoy hablando de que el ángulo entre dos lados adyacentes de un octágono ser $3\pi/8$ aquí. El ángulo entre los lados adyacentes es $3\pi/4$, y el ángulo de la que estoy hablando es exactamente la mitad de eso.
Editar:
Esta pregunta y la respuesta por André Nicolas dar más información y una alternativa a prueba.
Considerar los dos lados adyacentes de un octágono regular de la foto de abajo
$\hspace{5cm}$
En primer lugar, desde los lados tienen igual longitud, hemos $$ \begin{align} (c-b)\cdot(b-a) &=|c-b|\,|b-a|\cos(\pi/4)\\ &=\frac{|b-a|^2}{\sqrt2} \end{align} $$ Por lo tanto, hemos $$ \sqrt2=\frac{(b-a)\cdot(b-a)}{(c-b)\cdot(b-a)} $$ Si todas las coordenadas son racionales, entonces la cantidad de la derecha es racional. Sin embargo, desde la $\sqrt2$ no es racional, que es imposible.
Cuando un octogon existe, entonces usted es capaz de encontrar un punto de celosía $(a,b)$ en el primer cuadrante y una red de punto de $(c,d)$ $d<0$ tales que (i) $a^2+b^2=c^2+d^2$ y (ii) el ángulo cerrado es $135^\circ$.
Giro $(a,b)$ por noventa grados hacia la izquierda se produce el punto de $(-b,a)$ en el segundo cuadrante. La condición (ii) implica entonces que hay una real $\lambda>0$ con $$(c,d)=-\lambda\bigl((a,b)+(-b, a)\bigr)\ .\tag{1}$$ De $\lambda={-d\over a+b}$ llegamos a la conclusión de que en el hecho de $\lambda\in{\mathbb Q}$.
Usando la condición (i) y $(1)$ ahora obtenemos $$a^2+b^2=c^2+d^2=2\lambda^2(a^2+b^2)\ ,$$ o $2\lambda^2=1$, lo cual es incompatible con $\lambda\in{\mathbb Q}$.
Hay una razonable simple argumento que demuestra que esto es imposible para cualquiera de los $n$-gon otros de un cuadrado (aunque el triángulo equilátero y el hexágono necesita un poco de trabajo extra, ya que estos pueden aparecer en una red hexagonal).
El argumento va así. Supongamos que hay puntos de la malla formando un octágono regular. Deje $A, B, C$ tres sucesivos vértices. A continuación, el formulario de $D = A-B+C$ (que $ABCD$ forma un rombo). Ahora $D$ es un punto de la rejilla situada en el interior del octágono y no es su centro. La repetición de esta construcción para los otros vértices por ende los resultados en otro octágono regular con vértices en los puntos de cuadrícula que es estrictamente menor. Esto conduce a una reducción de octógonos, que no es posible.
En otras palabras, no puede haber más pequeño de tales octágono y por lo tanto no puede ser ninguno de ellos.
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