Isomorfismo de una irreductible módulo de una cierta Mentira-álgebra

Question

Mientras se prepara para una prueba de que he encontrado la siguiente pregunta de la que no tengo respuesta:

Suponga $k$ es algebraicamente cerrado de campo, y $g_{1},g_{2}$ $k$- álgebras de Lie y deje $g=g_{1}\times g_{2}$. La primera parte de la pregunta: Si $V_{1},\, V_{2}$ son irreductibles $g_{1},\, g_{2}$ módulos (respectivamente), a continuación, $V=V_{1}\otimes V_{2}$ es una irreductible $g$-módulo. Que yo podía hacer.

La segunda parte sin embargo la pregunta: Mostrar que cualquier ireducible g-módulo es isomorfo a algunos $V_{1}\otimes V_{2}$ anterior. Esto no sé cómo probar.

También hay una pregunta en el extremo que se le pregunta ¿cuál es la diferencia si $k$ no es algebraicamente cerrado.

Gracias!

Answer 1

Yo diría que, dado un $g_1 \times g_2$ módulo de $V$, usted debería considerar como una $g_1$ módulo, tome su irreductible submódulo $V_1$, y considerar el espacio $Hom_{g_1}(V_1, V)$ $g_2$ módulo. A continuación, el producto tensor $k$ $V_1$ con el Hom espacio será un módulo sobre $g_1 \times g_2$ y un submódulo de $V$, por lo tanto igual a $V$. Usted, a continuación, mostrar a los Hom es una representación irreducible de $g_2$.