Encontrar la forma cerrada de una función generadora con diferentes potencias de $x$ en el parámetro

Question

Estoy trabajando en un rompecabezas matemático/programático que involucra una serie de números enteros definida con una recurrencia que relaciona valores $a(n)$ a $a(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor)$ y $a(\lfloor\frac{n}{4}\rfloor)$ . A partir de la definición he encontrado esta expresión que implica la función generadora de la serie $G$ :

$$G(x) = x + G(x^2)(3 + 2x) + G(x^4)(2 + 3x)(1 + x^2)$$

Espero encontrar una forma cerrada para $G$ lo que me dará una idea de cómo abordar el problema más grande, pero no he encontrado la manera de hacerlo. Puedo ver cómo $G$ podría ser un cociente de polinomios, pero no he averiguado cómo encontrarlos.

$G$ crece más lentamente que la función generadora de Fibonacci, por lo que debería tener un rango de convergencia razonable.

Un valor para $G$ puede calcularse para cualquier complejo $n$ raíz de la unidad (estableciendo un sistema lineal junto con todos los demás asociados $n$ raíces de la unidad), pero no estoy seguro de que sea útil hacer esto, o incluso si se permite hacer esto con este tipo de serie de potencia formal. También estoy bastante seguro de que $1$ y $-1$ están fuera del rango de convergencia. Pero, de nuevo, es una serie de potencia formal.

$$G(1) = 1 + G(1)(5) + G(1)(5)(2)\\ G(1) = -\frac1{14}$$

$$G(-1) = -1 + G(1)(1) + G(1)(-1)(2)\\ G(-1) = -1 - G(1) = -\frac{13}{14}$$

Se pueden distinguir las porciones pares e Impares de G.

$$G_\text{even}(x) = 3G(x^2) + 2(1+x^2)G(x^4)\\ G_\text{odd}(x) = x + 2xG(x^2) + 3x(1 + x^2)G(x^4)$$

Answer 1

Si $G(x) = \sum_{j=0}^\infty a_n x^n$ Me sale $$ \eqalign{ a_{4k} &= 3 a_{2k} + 2 a_k\cr a_{4k+1} &= 2 a_{2k} + 3 a_k\cr a_{4k+2} &= 3 a_{2k+1} + 2 a_k\cr a_{4k+3} &= 2 a_{2k+1} + 3 a_k\cr} $$ En particular, $a_{2^m} = 3 a_{2^{m-1}} + 2 a_{2^{m-2}}$ y con $a_1 = 1$ y $a_2 = 3$ Esto implica $$ a_{2^m} = \left(-\dfrac{3\sqrt{17}}{34} + \dfrac{1}{2}\right) \left(\dfrac{3-\sqrt{17}}{2}\right)^m + \left(\dfrac{3\sqrt{17}}{34} + \dfrac{1}{2}\right) \left(\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\right)^m$$ Me parece que $G$ tendrá un radio de convergencia $1$ y sospecho mucho que tendrá un límite natural en $|z|=1$ .