Es $f$ necesariamente un homotopy equivalencia?

Question

Deje $X = \{(p, q): p \neq -q \} \subset S^n \times S^n$. Definir un mapa de $f: S^n \to X$$f(p) = (p, p)$. Mi pregunta es la siguiente: es $f$ necesariamente un homotopy equivalencia?

Aquí está mi progreso hasta ahora. Yo no entiendo realmente lo que Amitai escribió (en concreto, de la línea geodésica parte). Sé que para el caso de $n = 1$, los dos espacios son definitivamente homotópica. Para el toro, el subconjunto $X$ es equivalente al toro menos un bucle $C$ que se lleva alrededor del toro. Podemos entonces desplegar el toro desde que cortar y obtener un cilindro finito de altura, que puede ser deformada en un círculo. Algo similar probablemente ocurre en dimensiones superiores, aunque no estoy seguro. Ni siquiera estoy seguro de si $f$ hace el trabajo o no.

Answer 1

Sí, lo es.

Definir $g:X\to S^n,\quad (p,q)\mapsto p.$$g\circ f=id_{S^n}$, y tenemos que mostrar que $f\circ g$ es homotópica a $id_X$. Tenemos $f\circ g(p,q)=(p,p).$ La idea es que desde $q\neq-p$, puede mover $q$ continuamente a lo largo de la línea geodésica de la conexión a $p$.

Nota: La anterior $g:X\to S^n$ es un fibration con fibra de $S^n\setminus\{\mathrm{point}\}.$ Considerando la proyección estereográfica, uno ve que $g$ es en realidad un vector paquete de más de $S^n$, y por encima de la $f:S^n\to X$ no es nada más que el cero de la sección.