Un extraño caracterización de espacios conectados

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico. Recordemos que un abra la cubierta $\mathcal U$ $X$ es el punto finito si cada punto de $X$ está contenida en un número finito de elementos de $\mathcal U$.

Digamos que es un punto finito abra la cubierta $\mathcal U$ es justa si cualquiera de los dos puntos de $X$ están contenidas en el mismo número de elementos de a $\mathcal U$.

Llamémoslo un espacio injusto, si la única feria cubre de $X$ son triviales cubre $\mathcal U = \{X\}$$\mathcal U = \{X, \emptyset\}$.

Pregunta: ¿Es cierto que $X$ está conectado si y sólo si es injusto?

Si $X$ no está conectado, decir $X= U \cup V$, $U, V$ disjuntos y no vacíos, entonces $\{U, V\}$ es un trivial de la feria de la tapa de $X$. Esto establece un lado de la implicación. ¿Qué acerca de la otra implicación?

Answer 1

Supongamos que $\mathscr{U}$ es un punto finito abra la cubierta de $X$ de manera tal que cada una de las $x\in X$ pertenece a exactamente $n$ de los miembros de $\mathscr{U}$. Para cada una de las $x\in X$ deje $V(x)=\bigcap\{U\in\mathscr{U}:x\in U\}$; claramente $\{V(x):x\in X\}$ es una cubierta abierta de a $X$. Ahora supongamos que $y\in V(x)$; luego si $x\in U\in\mathscr{U}$, debemos tener $y\in U$, por lo que el $n$ de los miembros de $\mathscr{U}$ contiene $x$ todos contienen $y$, y de ello se sigue que $V(y)=V(x)$. Por lo tanto, $\{V(x):x\in X\}$ es una partición de a $X$ en abierto (y por lo tanto clopen) conjuntos. Si esta partición tiene un solo elemento, a continuación, $V(x)=X$ para todos los $x\in X$, $\mathscr{U}=\{X\}$, y $n=1$. De lo contrario, la partición no es trivial, y $X$ no está conectado.