¿Cuál es el punto medio de $[a,b)$ ?

Question

Mientras que el punto medio de cualquiera de los dos $[a,b]$ o $(a,b)$ es $\dfrac{a+b}{2}$ , cuál es el punto medio de $[a,b)$ si es que se ha definido?

Answer 1

Depende de cómo se quiera definir el llamado "punto medio" de un intervalo. Se puede simplemente definir el punto medio de un intervalo para ser $\frac{a+b}2$ para cualquier intervalo de la forma $(a,b), (a,b], [a,b)$ o $[a,b]$ . Esta definición serviría bastante bien para la mayoría de los propósitos generales, ya que un solo punto tiene medida cero.

Sin embargo, supongamos que queremos que el punto medio tenga la propiedad de que

para un intervalo $I$ , $m$ se llama el punto medio de $I$ si para cualquier $x\in I$ existe $x'\in I$ tal que $x-m=m-x'$

entonces es demostrable que $[a,b)$ no tiene punto medio. (Sugerencia: si tal $m$ existe entonces $I$ debe ser de la forma $(m-d,m+d)$ o $[m-d,m+d]$ )

Answer 2

Sigue siendo $\displaystyle\frac{a+b}{2}$ .

Answer 3

Es lo mismo, $\dfrac{a+b}{2}$ . Sigue siendo el punto equidistante de los puntos finales. (Los "puntos finales" no tienen que estar realmente en el propio intervalo).

Answer 4

Esta es una posible definición. Sea $A$ denotan un subconjunto medible de $\mathbb{R}$ . Entonces un punto medio de $A$ es un $x \in \mathbb{R}$ tal que $\mu(A \cap (\infty,x]) = \mu(A \cap [x,\infty)),$ donde $\mu$ denotan el Medida de Lebesgue . Obsérvese que un subconjunto medible de $\mathbb{R}$ puede tener muchos puntos medios (por ejemplo, $[0,1] \cup [2,3]$ ) o ninguna (por ejemplo, $[0,\infty).$ ) Pero los tres $[a,b]$ , $[a,b)$ y $(a,b)$ tienen precisamente un punto medio, a saber $(a+b)/2$ .

Answer 5

Yo diría:

Punto medio= $(a+b)/2$ . Piensa que si b) está infinitesimalmente cerca de b] el punto medio es el mismo que (a,b) o [a,b]. Por ejemplo, si b=2,0 y se llega a 1,999999999....... el punto medio es el mismo que [a,b].