Sé que el grupo fundamental de la homeomórficos espacios son isomorfos. Es a la inversa verdad? Quiero decir, ¿podemos decir que los dos espacios con isomorfo fundamental grupos homeomórficos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
jasonjwwilliams
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Va otra dirección a partir de las respuestas, no son importantes casos en que esto es cierto.
Por ejemplo, si desea restringir el "espacio" para significar "hiperbólico colectores de dimensión al menos tres y de volumen finito", entonces la respuesta es, sorprendentemente, sí y va por el nombre de Mostow Rigidez
Si $M$ $N$ son finitos volumen hiperbólico colectores de cada uno de dimensión al menos 3, y si $f:\pi_1(M)\rightarrow \pi_1(N)$ es un isomorfismo, entonces $f$ es inducida por un único isometría entre el$M$$N$.
En particular, en este caso, $M$ $N$ son homeomórficos (y más!).
Además, una generalización de este se conoce como el Borel Conjetura:
Supongamos $M$ $N$ están cerrados colectores con $\pi_k(M) = \pi_k(N) = 0$$k\geq 2$. A continuación, $M$ $N$ son homeomórficos.
De ello se deduce a partir del teorema de Whitehead (ver las otras respuestas) y un poco más de trabajo que $M$ $N$ son necesariamente homotopy equivalente. El Borel conjetura afirma que para el cerrado de los colectores, que son necesariamente homeomórficos. Como el nombre implica, es una conjetura.
studiosus
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19728
Esta es una adición a Jason DeVito la respuesta; lo que preocupa es el estado actual de Borel conjetura:
Si dos cerrados asféricas (es decir, con contráctiles universal cubre) colectores $M, N$ han isomorfo fundamentales de los grupos, a continuación, se homeomórficos.
El más fuerte hasta la fecha el resultado hacia Borel conjetura dimensiones de $\ge 5$ está en el artículo
"El Borel Conjetura hiperbólico y el GATO(0)-grupos" por Bartels y Lueck que se puede encontrar aquí.
Su teorema de los estados que Borel conjetura (en dimensiones $\ge 5$) tiene para GATO(0) y hiperbólico grupos; este resultado incluye los resultados anteriores por Farrel y Jones en Borel conjetura para nonpositively curva colectores.
Además, Borel conjetura tiene en la dimensión 3 gracias a Perelman solución de Thurston de la Conjetura de Geometrización. Las personas normalmente son conscientes del hecho de que Perelman demostró conjetura de Poincaré en la dimensión 3, pero su teorema demuestra mucho más que esto. Aquí es cómo Borel conjetura en 3d de la siguiente manera desde el trabajo de Perelman:
Perelman del resultado implica inmediatamente que cada cerrados 3-colector $M$ con contráctiles la universalización de la cobertura es uno de los siguientes:
Hiperbólica.
Seifert.
Haken.
Borel conjetura hiperbólico colectores de la siguiente manera a partir de Mostow rigidez teorema. Para Haken colectores de Borel conjetura fue probada por Waldhausen (ver aquí). Para Seifert colectores con contráctiles la universalización de la cobertura Seifert invariantes (que completamente determinar la topología de las variedades) se pueden leer en el grupo fundamental (mi conjetura es que esto era conocido por Seifert).
Borel conjetura en la dimensión 4 es abierto por lo que yo sé.
Neal
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Otras respuestas dan una buena contraejemplos ( $\mathbb{R}$ , y en un punto, $\mathbb{S}^2$ y un punto), así que sólo voy a escribir un poco expositiva respuesta sobre la búsqueda de conversa.
El grupo fundamental es demasiado débil para detectar homeomorphism tipo. De hecho, conocer la secuencia completa de homotopy grupos es demasiado débil: siempre se puede "inflar" el espacio, por ejemplo, como en Daniel Óxido de respuesta, de tal manera que el resultado tiene el mismo homotopy grupos, pero no es homeomórficos al espacio original.
Este método de construcción de un contraejemplo viola compacto, compacto y espacios son agradables, así que usted puede tratar de añadir una compacidad de la asunción. Es saber que dos espacios compactos han isomorfo homotopy suficiente para concluir que son homeomórficos? O incluso homotopy-equivalente?
No, todavía no lo suficientemente bueno. De hecho, la lente de espacios proporcionan ejemplos de no-homeomórficos, no homotopy-equivalente compacto colectores con la misma dimensión y homotopy grupos.
A mi limitado conocimiento, aquí está el mejor general de converse disponibles: del teorema de Whitehead.
Si $X$ $Y$ tiene el homotopy tipo de CW complejos y si un mapa de $f:X\to Y$ induce un isomorfismo de todos los homotopy grupos, a continuación, $f$ es un homotopy de equivalencia.
John R. Strohm
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El más cercano que uno puede llegar a su declaración es, probablemente, Whitehead del teorema:
Si un mapa de $f$ entre los dos conectados CW complejos $X$, $Y$ induce isomorphisms en todos los homotopy grupos, a continuación, $f$ es un homotopy equivalencia entre el$X$$Y$.
Homotopy grupos son los de mayores dimensiones analógica del grupo fundamental. Por supuesto, homotopy de equivalencia es la débil condición de la existencia de un homeomorphism. Tenga en cuenta también que la nota suficiente para homotopy grupos isomorfos; un mapa debe induce a todos los isomorphisms. La única "excepción" es cuando todos homotpy grupos de un CW complejo de $X$ son triviales. En este caso, la constante mapa de $X$ a un punto induce isomorphisms en todos los homotopy grupos, y por lo tanto $X$ es contráctiles (homotopy equivalente a un punto).
Dan Rust
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