Si $\mathbb f$ es analítica y limitado en la unidad de disco con ceros $a_n$ $\sum_{n=1}^\infty \left(1-\lvert a_n\rvert\right) \lt \infty$

Question

Voy más antiguo examen de problemas y me he quedado prendado de este. Supongamos que $\mathbb{f}\colon \mathbb{D} \to \mathbb{C}$ es analítica y acotada. Deje $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ ser la no-cero ceros de $\mathbb{f}$ $\mathbb{D}$ cuentan de acuerdo a la multiplicidad. Mostrar que $$ \sum_{n=1}^\infty \left( 1 - \left|a_n \right|\right)\lt\infty $$ Puedo entender que $\left|a_n \right|$ $1$ desde ceros aislados, pero no ayuda que muestra la serie es convergente. Cualquier ayuda será apreciada!

Answer 1

Esto se conoce como Blaschke la condición y es, de hecho, también cierto para las funciones en el llamado Nevanlinna clase. La forma más sencilla para probar que esto es el uso de Jensen fórmula.

Suponga $f \in H^\infty$. Usted puede muy bien suponer que los $f(0) \neq 0$ y $f$ tiene una infinidad de ceros. Deje $n(r)$ el número de ceros en el disco $D_r$. Arreglar cualquier entero $k$ y elija $r < 1$ tan grande que $n(r) > k$. Por Jensen fórmula, $$ |f(0)| \prod_{n=1}^{n(r)} \frac{r}{|a_n|} = \exp\left( \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \log|f(re^{i\theta})|\,d\theta \right). $$

Por lo tanto (si $|f(z)| < M$$D$): $$ |f(0)| \prod_{n=1}^{k} \frac{r}{|a_n|} \le |M|. $$

En otras palabras $$ \prod_{n=1}^{k} |a_n| \ge \frac{|f(0)|}{|M|} r^k $$ para cada $k$. Dejando $r \to 1$ $k\to\infty$ se sigue que $$ \prod_{n=1}^{\infty} |a_n| \ge \frac{|f(0)|}{|M|} > 0, $$ lo que implica que $\sum_{n=1}^\infty (1-|a_n|) < \infty$.

Answer 2

En primer lugar, asumir $f(0) \ne 0$. Deje $r < 1$ $n(r)$ el número de ceros de $f$ dentro $\overline{D}(0, r)$. Deje $k$ ser un entero positivo, de modo que $k < n(r)$. Por Jensen fórmula: $$ \left|f(0)\right| \prod_{n=1}^{n(r)}\frac{r}{\left|\alpha_n\right|} = \exp \left\{\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \log\left|f(re^{i\theta})\right|\right\} $$

Desde $f$ es limitada (digamos,$M > 0$), tenemos: $$ \prod_{n=1}^{k}\left|\alpha_n\right| \ge \frac{\left|f(0)\right|r^k}{M} $$

Ahora, dejando $r \to 1$, obtenemos: $$ \prod_{n=1}^{\infty}\left|\alpha_n\right| \ge \frac{\left|f(0)\right|}{M} > 0 $$

Lo que implica que: $$ \sum_{n=1}^\infty \left(1 - \left|\alpha_n\right|\right) < \infty $$

Por último, si $f(0) = 0$. Poner $f(z) = z^m g(z)$ donde $g(0) \ne 0$ y aplicar el razonamiento anterior a $g$. Desde $g$ $f$ tienen el mismo ceros aparte de $z = 0$, el resultado de la siguiente manera para $f$.