Cíclico subgrupos de $GL_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$?

Question

¿Cuáles son los subgrupos cíclicos de $GL_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$, el grupo lineal general sobre el campo finito de orden $p$ donde $p$ es primo?

Obviamente, cada subgrupo cíclico generado por algún elemento $g \in GL_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$. ¿Cuáles son los posibles pedidos de estos subgrupos cíclicos, y ¿cómo puedo explícitamente encontrar una $g$ que genera cada uno (es decir, explícitamente encontrar los elementos de la $2\times 2$ matriz que corresponde a $g$)?

Puedo ver que su orden debe dividir $(p+1)p(p-1)^2$, pero no puedo ver inmediatamente exactamente lo que los pedidos son posibles o cómo construir ellos. Puedo ver cómo generar un subgrupo cíclico de orden $p-1$ (el uso de la matriz $\left(\begin{smallmatrix}x &0\\0 &x\end{smallmatrix}\right)$ donde $x \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ orden $p-1$) o de orden $(p-1)p$ (uso $\left(\begin{smallmatrix}x &1\\0 &x\end{smallmatrix}\right)$), del que se desprende cómo encontrar un grupo cuyo orden es cualquier divisor de $(p-1)p$. Sin embargo estoy teniendo problemas para ver si hay un subgrupo cíclico de orden $p+1$ (por ejemplo), ni de cómo construirlo.

Answer 1

Usted puede pensar de $\mathbb{F}_{p^2}$ 2-dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{F}_p$. La multiplicación por cualquier elemento no nulo de a $\mathbb{F}_{p^2}$ es entonces un $\mathbb{F}_p$-lineal mapa en $\mathbb{F}_{p^2}$, y así de esta manera $\mathbb{F}_{p^2}^\times$ incrusta en $GL_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$. Desde el multiplcative grupo de un campo finito es cíclica, esto indica que hay un elemento de $GL_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ orden $p^2-1$.

En general, la clase conjugacy de un elemento de $GL_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ es casi determinado por su polinomio característico. Es un buen ejercicio para ir a través de las posibilidades para el polinomio característico (irreducible sobre $\mathbb{F}_p$, reducible con distintas raíces, reducible con el doble de la raíz) y tratar de ver qué elementos tienen esa característica de polígonos. El único caso en donde se tienen dos clases conjugacy con el mismo polinomio característico es que si el polinomio tiene una doble raíz.