Donde están los valores de la función seno viene?

Question

En la escuela secundaria, me enseñaron que podía obtener cualquier sinusoidal de valor con algunos conceptos básicos de la aritmética de los valores de la siguiente imagen:

Pero nunca he entendido realmente donde estos valores donde viene de, hace unos días empecé a explorar, pero no podía descubrir. Después de leer un rato, me acordé de que la función seno es:

$$\pecado=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}$$

Entonces pensé que sólo necesitaba calcular $\frac{1}{x}$ donde $0 \leq x \leq 1$ pero no me dio buenos resultados, entonces pensé que tal vez yo no podía expresar como una proporción del opuesto y la hipotenusa, pensé que podría expresar como la relación entre sectores de la circunferencia, por ejemplo: la circunferencia de la $=\pi$, a continuación, se divide por $4$ (para obtener una rebanada de $0 a$ 90 $$ grados) entonces me encontré con: $x/ \frac{\pi}{4}$ donde $0\leq x \leq \frac{\pi}{4} $, pero también no funciona, la mejor creo que yo podía hacer era $\sqrt{x/ \frac{\pi}{4}}$, el resultado se muestra en el siguiente diagrama:

La última creo que me ha hecho parece ser (al menos visualmente) muy similar a la original de la función seno, parece que sólo necesita ser girado pero a partir de aquí, estoy sin ideas. Me pueden ayudar?

Answer 1

Todos los valores de la imagen puede ser deducida a partir de dos teoremas:

1. El teorema de Pitágoras: Si un triángulo rectángulo tiene lados $a,b,c$ donde $c$ es la hipotenusa, entonces $a^2+b^2=c^2$
2. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de $\frac{\pi}{6} = 30^\circ$, entonces la longitud del lado opuesto a dicho ángulo es la mitad de la longitud de la hipotenusa.

Tanto puede ser demostrado con elemental de geometría de la escuela secundaria.

Vamos a ver cómo funciona esto en el Cuadrante I (ángulos entre $0$ y $90^\circ$), como el resto de la siguiente manera a partir de identidades.

1. $\sen 0 = 0$; esto es claro a partir de la definición.
2. $\pecado 90^\circ = 1$, menos intuitivo, ya que rompe el triángulo, pero $\pecado 90^\circ =\cos0$ y $\cos 0 = 1$, por el lado adyacente y la hipotenusa coincide cuando el ángulo es de $0$.
3. $\pecado 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$; esto corresponde a un triángulo isósceles, y si ponemos los lados de $1$, entonces por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa es de $\sqrt{2}$.
4. $\sin30^\circ = \frac{1}{2}$; de esta manera se sigue inmediatamente del teorema 2 anterior.
5. $\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$; si tomamos un $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ triángulo, y establecer el lado opuesto a los $30^\circ$ ángulo será de $1$, entonces la hipotenusa es de $2 dólares y en el lado opuesto a los $60^\circ$ ángulo satisface $x^2 + 1 = 2^2$, por lo que su longitud es de $\sqrt{3}$ y por tanto $\sen 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Answer 2

Como en Alfonso Fernández de la respuesta, el notable valores en el diagrama puede ser calculado con básicos de la geometría plana. Históricamente, los valores de las funciones trigonométricas se deduce de los que utilizan la mitad de ángulo y de la suma de ángulos fórmulas. Así que ya sabes de 30°, a continuación, puede utilizar la mitad del ángulo de la fórmula para calcular 15, 7.5, 3.25, 1.125, y 0.5625 grados. Ahora uso el de la suma de ángulos fórmula para calcular 0.5625° + 0.5625° = 2*0.5625°, y así sucesivamente para 3*0.5625°, 4*0.5625°...

Estos se calculará con la mano durante largos períodos de tiempo, a continuación, se imprime en largas mesas que llena de libros enteros. Cuando un ingeniero o un marinero necesario conocer un trig valor, iba a buscar el valor más cercano disponible en su libro de trigonometría tablas, y el uso que.

Dominic Michaelis señala que en la mayor de matemáticas de las funciones trigonométricas se definen sin hacer referencia a la geometría, y esto le permite a uno llegar con fórmulas explícitas para ellos. Usted puede rechazar esta como mero formalismo de pacotilla, pero conceptualmente me parece que la universidad a nivel de las definiciones de las funciones trigonométricas hacer mucho más sentido que el geométrica, ya que despeja el misterio sobre el por qué de estas funciones se convierten en situaciones que no tienen nada que ver con los ángulos o círculos. Por lo que finalmente puede perder su deseo de que los valores calculados a partir de la definición geométrica.

Por supuesto, si usted va a estar usando la definición geométrica de todos modos, también se puede simplemente agarrar una regla y un transportador de ángulos y la medida de distancia toda la noche, y calcular una tabla de trig valores de esa manera.

Una nota final: usted todavía está utilizando la "relación de los lados de un triángulo" de la definición de las funciones trigonométricas. Te recomiendo que abandonar esta definición en favor de la circular definición: $pecado(\theta)$ es la altura de un ángulo $\theta$, dividido por la longitud del brazo del ángulo, $cos$ es el mismo para el ancho de un ángulo, y $tan$ es la pendiente del brazo del ángulo. La razón por la que me recomienda el uso de esta definición se debe a que, aunque conceptualmente significativo como la triangular (una vez que usted piensa acerca de esto por un segundo), que le permite ver fácilmente donde los valores para ángulos mayores de 90°. El triangular definición es tan limitado que yo personalmente creo que es destructivo incluso a molestar a la enseñanza en la escuela, me pregunto si no sería más fácil saltar a la derecha adentro con la circular de la definición. Sé que me detuvo durante años.

Answer 3

[Imágenes de la Wikipedia. ] $$\sin x = \frac ah\quad \cos x = \frac bh \quad \tan x = \frac ab$$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

Y ver cómo esto se relaciona con el círculo unidad, donde $$\sin\theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac y1 = y$$ $$ \cos\theta = \frac{\text{adyacentes}}{\text{hipotenusa}} = \frac x 1 = x$$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

Así, en la imagen, los valores $(x, y)$ en el círculo unitario depende del ángulo de interés: en particular, $(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta)$:

Estos valores de $x = \cos\theta, y =\sin\theta$ y $h = 1$ (el radio del círculo unitario, y la hipotenusa del derecho correspondiente triángulo) pueden ser calculadas usando el Teorema de Pitágoras: $$x^2 + y^2 = h^2 = 1 $$ así como $$\sin^2x + \cos^2x = 1$$

Usted está en su camino si se combina este teorema con el hecho de que cuando un triángulo rectángulo tiene un ángulo de $\theta = \frac{\pi}{6} = 30^\circ$, entonces la longitud del lado opuesto a dicho ángulo es la mitad de la longitud de la hipotenusa (el valor de y de el triángulo rectángulo con hipotenusa 1, en el círculo unitario = 1/2). Por lo tanto, $ $ y = \sin\left(30^\circ\right) = 1/2$.

Por ejemplo, sabiendo esto, podemos encontrar $$x^2 + y^2 = 1 \ffi \cos^2(30^\circ) + \sin(30^\circ) = 1 \ffi \cos^2(30) + (1/2)^2 = 1$$ $$\iff \cos^2(30) = 3/4 \implica \cos(30) = \sqrt 3/2$$

Answer 4

Los valores de la función seno puede ser calculada por la $$\sin(x)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=x-\frac{x^3}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{x^5}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} \mp \dots$$ En la universidad de la $\sin$ función se introdujo sin geométrica de la motivación, se introdujo como una función de la función exponencial (espero que lo sepan) y $$\sin(x)=\frac{1}{2} \cdot e^{ix}-e^{-ix})$$ donde $i$ es la unidad imaginaria.
Quizá otra fórmula es más motivationed, pero es realmente complicado hacer es riguroso, la idea principal es que usted puede escribir un polinomio como un producto de sus ceros y un número, por ejemplo $$ 3(x-1)(x+2)=3x^2 +3x-6$$ Ahora usted puede tratar de la misma con el $\sin función$ pero $$x \cdot (x-\pi) (x+\pi) \cdot$$ es $\infty$ para casi todo $x$ se escribe un poco diferente. De hecho, $$\sin(x)=x\cdot \prod_{k=1}^\infty \left(1-\frac{x^2}{k^2\pi^2}\right)$$ (nota i $(a+b)\dot (a-b)=a^2-b^2$. Este es más motivationed por la interpretación geométrica, a partir de la $0$ de $\sin función$.

Como los comentarios que se fueron a la derecha, hay una conexión. El Eulerformula es $$\exp(ix)=\cos(x)+i \sin(x)$$ y un número en el plano complejo puede ser escrito como $a$z=|z|\cdot e^{i \varphi}$$ donde $$\varphi= \arctan\left(\frac{\Im(z)}{\Re(z)}\right)$$ y $\Im(z)$ es la parte imaginaria de a $z$ y $\Re(z)$ es la parte real de a $z$.

Answer 5

Esta pregunta es realmente una pregunta clásica para mí.

La primera cosa que usted quiere saber es ¿cómo se miden los ángulos. Voy a hablar en términos de un "reloj" para facilitar la explicación textual, con la 1pm - 12pm denota la posición de, digamos que una de segunda mano.

Considerar que, a las 3 de la tarde, el ángulo es de $0^\circ$. Para subir un par de grados, ir en sentido anti-horario. El primer ángulo que se ve es de $30^\circ$. $\sin30^\circ = \frac 1 2.$ Desde la hipotenusa es también el radio del círculo, toma el valor de 1$$. Desde $\pecado = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}$, el punto azul de la distancia vertical desde la $x$-eje es, sin duda 0.5

Continuar esto en un sentido anti-horario, a pie y se puede ver, a las 12h, se habría movido de $90^\circ$. Seguir este camino, a las 9pm, sería una media vuelta, lo que explica la $180^\circ$...y así sucesivamente. Sabemos que el $\sin$ gráfico es cíclico...así que si usted tiene un ángulo mayor que la de una revolución completa ie $360^\circ$, sólo resta revoluciones hasta que el rango de $0^\circ$ $360^\circ$ es alcanzado.

Que es la forma de leer de este círculo.