Contexto
En el siguiente dibujo, una plataforma que cuelga desde el techo no es exactamente de su centro de gravedad. Debido a esto no puede mantener una arbitraria por mucho tiempo; quiero aumentar su rigidez con el uso de 3 ortogonal rápido girar los volantes de inercia, pero antes de la creación de los volantes de inercia necesito saber el tamaño que necesitan para estar haciendo un modelo dinámico...
... Y no he sido capaz de modelar el efecto giroscópico [Editar: final retirado para mayor claridad].
Pregunta
¿Cómo puedo modelo de los 3 volantes de reacción (a sí mismos y a) la gravedad de par, a través de una tasa de incremento o un par de apriete (a inyectar en el modelo de la planta)?
La aplicación de Lelesquiz la respuesta
De nivel superior ecuaciones: Euler-Lagrange
El objetivo es resolver para cada paso de tiempo para los ángulos $(\phi, \theta, \psi)$ el uso de las ecuaciones, en el marco inercial: $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \phi}= (\boldsymbol{M_g}-\sum_{k=1}^3 \boldsymbol{M_{wk}})\cdot \frac{\partial \boldsymbol{\omega_b}}{\partial \dot{\phi}}$$ $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta}= (\boldsymbol{M_g}-\sum_{k=1}^3 \boldsymbol{M_{wk}})\cdot \frac{\partial \boldsymbol{\omega_b}}{\partial \dot{\theta}}$$ $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\psi}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \psi}= (\boldsymbol{M_g}-\sum_{k=1}^3 \boldsymbol{M_{wk}})\cdot \frac{\partial \boldsymbol{\omega_b}}{\partial \dot{\psi}}$$ Donde $M_g$ es la gravedad de torque, $M_{wk}$ es el par motor aplicado en el volante k (lo contrario de lo que se ha aplicado en la plataforma), y $\omega_b$ es la plataforma de la tasa de vector en el marco inercial. 3 otras ecuaciones basadas en la $\alpha_k$, los ángulos de los volantes de inercia, debería haber sido añadido a caracterizar completamente el sistema, pero las tasas de las ruedas son las entradas, que se mide directamente. Los pares de apriete de las ruedas son las entradas (y el comando del sistema de lazo cerrado).
Sabiendo que el lagrangiano $L=T-U$ en el marco inercial.
Energía cinética T
$$ T(\phi \theta, \psi \dot{\phi}, \dot{\theta}, \dot{\psi}) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^3 \left(\boldsymbol{N_{k,Ri}^T}\boldsymbol{[I_{wO,Ri}]}\boldsymbol{N_{k,Ri}} \right) + \frac{1}{2} \left( m_{b} \boldsymbol{v_{b,Ri}}^T\boldsymbol{v_{b,Ri}}+\boldsymbol{\omega_{b,Ri}^T} \boldsymbol{[I_{bG,Ri}]} \boldsymbol{\omega_{b,Ri}} \right)$$ Donde $m_b$ es la masa del sistema (con ruedas), $\boldsymbol{v_{b}}$ el vector de velocidad del centro de gravedad del sistema, $\boldsymbol{\omega_{b}}$ el sistema de la tarifa del vector (la rueda no gira) y $\boldsymbol{[I_{bG}]}$ de la inercia de la matriz del sistema alrededor de su centro de gravedad (que debe ser transportado desde el guimbal centro 0), $[I_{wO}]$ de la inercia de la matriz de los volantes de inercia alrededor de su eje, y $\boldsymbol{N_{k}}$ la tasa de vector de los volantes de inercia en el sistema inercial. $$\begin{array}{lc}\boldsymbol{[I_{wO,Ri}]}=\boldsymbol{[R_{ib}]}\left[\begin{matrix}J_w & 0 & 0\\ 0 & J_w &0\\0 & 0& J_w\end{de la matriz}\right] \boldsymbol{[R_{bi}]} \end{array}$$ $$\boldsymbol{v_{b}}=\boldsymbol{\omega_{b,Ri}}\times\boldsymbol{\Delta_{b,Ri}}$$ $$\begin{array}{lc} \boldsymbol{[I_{bG,Ri}]}= \boldsymbol{[R_{ib}]}\boldsymbol{[I_{bO,Rb}]}\boldsymbol{[R_{bi}]}+m_b& \left(\begin{matrix} \Delta_{by,Ri}^2+\Delta_{bz,Ri}^2 & -\Delta_{bx,Ri}\Delta_{by,Ri} & -\Delta_{bx,Ri}\Delta_{bz,Ri} \\ -\Delta_{bx,Ri}\Delta_{by,Ri} & \Delta_{bx,Ri}^2+\Delta_{bz,Ri}^2 & -\Delta_{by,Ri}\Delta_{bz,Ri} \\ -\Delta_{bx,Ri}\Delta_{bz,Ri} & -\Delta_{by,Ri}\Delta_{bz,Ri} & \Delta_{bx,Ri}^2+\Delta_{by,Ri}^2 \end{de la matriz}\right) \end{array}$$ $\boldsymbol{\Delta_{b,Ri}}$ la guimbal centro - centro de vector de gravedad del sistema se expresa en el marco inercial. Vea a continuación "Euler ángulo expresiones" para la transformación del cuerpo inercial $\boldsymbol{<vector>_i}=\boldsymbol{[R_{ib}]}\boldsymbol{<vector>_b}$.
La energía potencial U
$$U(\phi, \theta, \psi) = -m\boldsymbol{g_{Ri}}.\boldsymbol{\Delta_{b,Ri}}$$ El signo menos viene del hecho de que U es mínimo con el guimbal-CG vector que apunta hacia abajo (producto escalar positivo).
Los ángulos de Euler expresiones
Los ángulos de Euler 313 han sido seleccionados como un sistema de coordenadas, lo que da la rotación de la matriz de marco inercial $(0 \boldsymbol{X_i Y_i Z_i})$ a de la estructura corporal $(0 \boldsymbol{X_b Y_b Z_b})$: $$ \begin{array}{lc} \boldsymbol{R_{RbRi}}(\phi, \theta, \psi)= & \left[\begin{matrix} cos \psi & sin \psi & 0 \\ -sin \psi & cos \psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{de la matriz}\right] \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos \theta & sin \theta \\ 0 & -sin \theta & cos \theta \end{de la matriz}\right] \left[\begin{matrix} cos \phi & sin \phi & 0 \\ -sin \phi & cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{de la matriz}\right] \end{array}$$ La tasa de vector se obtiene mediante la suma de las proyecciones en cada uno de los ejes del marco inercial de la $\boldsymbol{\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}}$ vectores): $$\begin{array}{lc} \boldsymbol{w_{b,Ri}}= & \left[\begin{matrix} \dot{\theta}cos\phi+\dot{\psi} sin\theta sin\phi \\ \dot{\theta}sin\phi+\dot{\psi} sin\theta cos\phi \\ \dot{\phi}+\dot{\psi}cos\theta \end{de la matriz}\right]\end{array}$$
Problema
La energía cinética de las ruedas es independiente de los ángulos de Euler, por lo que las tasas de las ruedas no tienen ningún efecto, lo que está mal! Ya que es absolutamente normal que no importa la matriz de rotación de la norma de las ruedas de las tasas de vector no cambia, la energía cinética de expresión o incluso el nivel superior de las ecuaciones debe ser malo.
