Cómo resolver esta ecuación diferencial: $x^2dy-y^2dx+xy^2(x-y)dy=0$

Question

$$x^2dy-y^2dx+xy^2(x-y)dy=0$$

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Lo que he intentado: $$\frac{x^2}{y^2} \frac{dy}{dx}+x(x-y)\frac{dy}{dx}=1\\$$ Deje $h=-1/x, \; k=-1/y,\; dh=1/x^2 \, dx, \; dk=1/y^2 \,dy$ $$\frac{dk}{dh}+\frac{(k-h)}{k^2} \frac{dk}{dh}=1\\ \frac{dk}{dh}+\frac hk=1+\frac1k\\ él^{\int-1/k^2\; dk}=\int\left(1+\frac1k\right)e^{\int-1/k^2\; dk}dk\\ él^{-y}=\int\frac{1-y}{y^2}e^{-y}dy=\int\left(\frac 1{y^2}-\frac1y\right)e^{-y}dy$$ Que probablemente es irresoluble?He intentado utilizar IBP sobre RHS.No uso Ricatti Eqn(No en mi curso) La respuesta es:

$$\large\ln\left|\frac{x-y}{xy}\right|=\frac{y^2}2+\mathcal C$$

Answer 1

Parece que la solución de $y(x)$ no puede ser expresado en una forma cerrada. Pero de una forma cerrada se puede encontrar para la función inversa $x(y)$ :

$$x^2 - y^2\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy} + xy^2(x-y) = 0 \implies \frac{dx}{dy} = \frac{y^2 + 1}{y^2}x^2 - yx$$

Teniendo en cuenta la función inversa de la función de $x(y)$, esta es una Riccati la educación a distancia que pueden ser resueltos gracias al método clásico para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias. Pero, en este caso, es más fácil continuar con un conveniente cambio de la función: $$\text {: } x(y) = e^{-y^2/2}F(y) \implica \frac{dx}{dy} = e^{-y^2/2}F' - ye^{-y^2/2}F = \frac{y^2 + 1}{y^2}e^{-y^2}F^2 - ye^{-y^2/2}F\\ \,\\ \text{Ahora } \int{\frac{F}{F^2}}\mathrm dy = \int{\frac{y^2 + 1}{y^2}e^{-y^2/2}}\mathrm dy \implica -\frac{1}{F} = -\frac{1}{y}e^{-y^2/2} + C\\ \implica F = \frac{y}{e^{-y^2/2} + Cy}\\ \implica x(y) = \frac{ye^{-y^2/2}}{e^{-y^2/2} + Cy}= \frac{y}{1 + Cye^{y^2/2}} $$

_{:: Fuente ::}

Answer 2

$\left(\dfrac{x^2}{y^2} +x(x-y)\right)=\dfrac{dx}{dy}$

$x=vy\implies \dfrac{dx}{dy}=v+y\dfrac{dv}{dy}$

$\therefore \left(\dfrac{x^2}{y^2} +x(x-y)\right)=\dfrac{dx}{dy} \\\implies v+y\dfrac{dv}{dy}=v^2+v^2y^2-vy^2 \\ \implies y\dfrac{dv}{dy}=v^2+v^2y^2-vy^2-v\\ \implies y\dfrac{dv}{dy}=(1+y^2)v(v-1) \\\implies \displaystyle \int\dfrac{dv}{v(v-1)}=\displaystyle \int\left(y+\dfrac{1}{y}\right)dy \\ \implies \displaystyle \int\dfrac{v-(v-1)}{v(v-1)} dv=\displaystyle \int\left(y+\dfrac{1}{y}\right)dy\\\implies \displaystyle\int\dfrac{dv}{v-1}-\displaystyle\int\dfrac{dv}{v}=\displaystyle\int y\ dy + \displaystyle\int\dfrac{dy}{y} \\\implies \ln \left(1-\dfrac{1}{v}\right)=\dfrac{y^2}{2}+\ln y+ c \\\implies \ln \left(\dfrac{x-y}{xy}\right)= \dfrac{y^2}{2}+c$

Answer 3

La ecuación es de $\displaystyle \frac{dy(x)}{dx}\cdot{\frac{x^2}{y(x)^2}}+\frac{dy(x)} {dx}\cdot{x(x-y(x))}=1$.

Multiplicando por $y(x)^2$ obtenemos $$\displaystyle \frac{dy(x)}{dx}\left[x^2+x(x-y(x))y(x)^2\right]=y(x)^2 \rightarrow \frac{dy(x)}{dx}=\frac{y(x)^2}{x^2+x^2y(x)^2-xy(x)^3}$$ Ahora, $\displaystyle \frac{dy(x)}{dx}=\large \frac{1}{\frac{dx(y)}{dy}}$, lo $$\displaystyle \frac{1}{\frac{dx(y)}{dy}}=\frac{y^2}{x(y)^2+x(y)^2y^2-x(y)y^3} \Rightarrow \frac{dx(y)}{dy}=x(y)^2-yx(y)+\frac{x(y)^2}{y^2}$$

La adición de $yx(y)$ y dividiendo por $-x(y)^2$ obtenemos $\displaystyle -\frac{\frac{dx(y)}{dy}}{x(y)^2}-\frac{y}{x(y)}=-\left(\frac{1}{y^2}+1\right)$.

Deje $\displaystyle v(y)=\frac{1}{x(y)} \rightarrow \frac{dv(y)}{dy}=-\frac{\frac{dx(y)}{dy}}{x(y)^2}$.

Multiplicando ambos lados por $\displaystyle e^{\Large \frac{-y^2}{2}}$ obtenemos$$\displaystyle e^{\large -\frac{y^2}{2}}\frac{dv(y)}{dy}-\left(e^{\large-\frac{y^2}{2}}y\right)v(y)=-e^{\large-\frac{y^2}{2}}\left(\frac{1}{y^2}+1\right)$$ El uso de la inversa del producto de la regla para obtener la $$\displaystyle \frac{d}{dy}\left(e^{\large -\frac{y^2}{2}}v(y)\right)=-e^{\large-\frac{y^2}{2}}\left(\frac{1}{y^2}+1\right)$$ Integrar ambos lados para obtener $$\displaystyle e^{\large -\frac{y^2}{2}}v(y)=-\int e^{\large -\frac{y^2}{2}}\left(\frac{1}{y^2}+1\right)dy$$

Utilizando el resultado se muestra en el enlace que Integran $e^{-\frac{y^2}{2}}\left(\frac{1}{y^2}+1\right)$ obtenemos $$\displaystyle e^{\large -\frac{y^2}{2}}v(y)=\frac{e^{\large -\frac{y^2}{2}}}{y}+\mathcal{C_1}$$

Tenemos que $\displaystyle v(y)=\frac{1}{y}+\mathcal{C_1}e^{\large \frac{y^2}{2}}$.

Ahora podemos escribir que $\displaystyle v(y)-\frac{1}{y}=\mathcal{C_1}e^{\large \frac{y^2}{2}}$.

Tomando el logaritmo de ambos lados obtenemos $\displaystyle \ln\left|v(y)-\frac{1}{y}\right|=\frac{y^2}{2}+\ln(\mathcal{C_1})$.

Sustituto $\displaystyle v(y)=\frac{1}{x(y)}$ encontramos que la respuesta final es $\displaystyle \ln\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|=\frac{y^2}{2}+C_2$.