¿Qué logaritmos distribuir más?

Question

Me doy cuenta de que la división distribuye sobre la suma La raíz de la extracción y distribuye más de multiplicación

Lo que el operador hacer logaritmos distribuir a través de: ie:

lo que no constantes de la función $H \in C^2 \rightarrow C$ hay que:

$$\log_s(H(a,b)) = H(\log_s(a),\log_S(b))$$

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INFORMACIÓN ADICIONAL:

Podemos observar los siguientes:

$$\ln(H(x,y)) = H(\ln(x), \ln(y))$$

Por lo tanto:

$$\frac{\partial }{\partial x}[\ln(H(x,y)] =\frac{\partial }{\partial x}[H(\ln(x), \ln(y)] $$

$$\frac{\partial }{\partial y}[\ln(H(x,y)] =\frac{\partial }{\partial y}[H(\ln(x), \ln(y)] $$

Por lo tanto:

$$ \frac{1}{H(x,y)}\frac{\partial H(x,y)}{\partial x} = \frac{1}{x}\frac{\partial H(\ln(x),\ln(y))}{\partial x} $$

$$ \frac{1}{H(x,y)}\frac{\partial H(x,y)}{\partial y} = \frac{1}{y}\frac{\partial H(\ln(x),\ln(y))}{\partial y} $$

Las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales deben corresponder funcionales sobre las que el logaritmo natural distribuye

Answer 1

Esta no es una respuesta, pero tengo la sensación de que tal vez puede ayudar a los demás con preguntas similares a entender la distributividad de axiomas y por qué deberían estar allí. Esto explicaría la distribución de la división sobre la suma y la raíz de la extracción de más de multiplicación, debido a que en ambos casos la operación a la que se distribuye sobre la otra es esencialmente la inversa de la repetición de los otros.

$(a+b)/c = a/c + b/c$ es equivalente a $a*c + b*c = (a+b)*c$ $c \ne 0$ (donde "*" denota multiplicación)

$(a*b)^{1/c} = a^{1/c} b^{1/c}$ es equivalente a $a^c * b^c = (a*b)^c$ $c \ne 0$ (con multi-funciones con valores negativos $a,b$)

Estos se obtienen mediante el uso de las operaciones inversas de la "exterior" de la operación. Por ejemplo, en el primer caso, para llegar desde la izquierda a la derecha, lo primero que se puede sustituir $(a,b)$ $(a*c,b*c)$ conseguir $((a*c)+(b*c))/c = (a*c)/c + (b*c)/c$ y, a continuación, cancelar la recíproca para obtener $((a*c)+(b*c))/c = a+b$ y, finalmente, se multiplican ambos lados por $c$. La segunda es exactamente el mismo pero con diferentes operaciones.

Ahora multiplicación distribuye sobre la suma y poderes distribuir a través de la multiplicación, porque en cada caso el primero es una repetición de la última. Para ver esto, podemos refundición de ellos como:

$[+a] ^c [+b] ^c = ( [+a] [+b] ) ^c$

$[*a] ^c [*b] ^c = ( [*a] [*b] ) ^c$

Esta es una notación donde $[+a]$ significa "agregar $a$" e $X^c$ significa "repetir X $c$ veces". Observe que $[+a] ^c = [+(a*c)]$$[*a] ^c = [*(a^c)]$. También, observe que la repetición distribuye a través de cualquier conjunto de funciones que se desplazan uno con el otro, de ahí la distributividad sostiene. Otra forma de ver esto es para señalar que el conjunto $\{ [+x] : x \}$ es de hecho un anillo conmutativo con [+0] como la identidad y función de la composición como en la operación binaria, y de la misma manera para $\{ [*x] : x \}$ con [*1] como identidad.

Para recuperar el original distributividad axiomas simplemente aplicamos ambos lados de las expresiones anteriores a las respectivas identidades en el correspondiente anillo, que es 0 para el primero y 1 para el segundo. En otras palabras, ( a 0 repetir ( ( agregar a ) entonces ( la adición de b ) ) c veces ), es el mismo ( a 0 ( repetir ( agregar a ) c veces ) ( repetir ( la adición de b ) c veces ). Si tomamos como axiomas de la distributividad de la repetición más de sumar o multiplicar, vemos que el normal de la distributividad convertido en axiomas, teoremas. Por supuesto, sólo tenemos entero $c$ pero no es una extensión natural de racionales, y entonces sí se puede aproximar por racionales de la forma habitual. De alguna manera, ellos hacen el completo sentido para mí esta manera, en lugar de simplemente tratar los axiomas como reglas arbitrarias que trabajar.

Volvemos a la pregunta original, $\log$ es la inversa de a $\exp$ ni obvio de repeticiones de cualquier tipo. Me interesaría si alguien pudiera refundición de cualquiera de ellos como tales.

De todos modos me gustaría a ver si alguien tiene un simétrico continua de la solución a la ecuación funcional utilizando la función exponencial: $e^{f(x,y)} = f(e^x,e^y)$ donde f es un operador binario en $\mathbb{C}$.

Answer 2

Realmente, el negocio de la $\ln$ es pasar de el grupo $(\mathbb{R}_{>0},\times)$ para el grupo de $(\mathbb{R},+)$. Y lo hace de una manera muy natural: $$\ln H_{\times}(a,b)=H_{+}(\ln a,\ln b)$$ where $H_{\times}(a,b)=a\,b$ and $H_{+}(a,b)=a+b$. That is, $$\ln(a\,b)=\ln a+\ln b$$ So if you think of $H(a,b)$ as just the group operation of a group, applied to $$ and $b$, then we have $$\ln H(a,b)=H(\ln a,\ln b)$$ sólo con dos grupos diferentes en el juego.

Por un lado, usted no puede encontrar este muy satisfactorio. Por otro lado, hay algo importante acerca de lo que los logaritmos son en realidad.