Los distintos puntos de control, conduce a la misma curva Bézier?

Question

Un cúbica de Bézier es un polinomio

$$F(u) = \sum_{i=0}^{n} \mathbf{b}_i^n P_i \;\;\;\text{ with } u \in [0,1], P_i \in \mathbb{R}^2, n=3 \text{ and } \mathbf{b}_i^n = \begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} u^i (1-u)^{n-i}$$

Usted obtener parcelas como este (fuente):

Tener el set $\mathbb{R}^{4 \times 2}$ de todas las curvas de Bézier cúbicas definido por los puntos de control y el conjunto de todas sus parcelas, me preguntaba: ¿hay dos curvas de Bézier que tienen diferentes puntos de control $P_i, P_i'$, pero son la misma función?

Obviamente, para la misma función en el punto de $P_0 = P_0'$ $P_3'$ tiene que ser el mismo. También, $P_1, P_1'$ $P_2, P_2'$ tiene que estar en la misma línea, debido a que $\overline{P_0 P_1}$ es una tangente a la curva. Pero aparte de eso, no estoy muy seguro de si podría haber una combinación donde los puntos son diferentes, pero las curvas son las mismas.

edit: creo que un problema puede ser cuando todos los puntos de control están en la misma línea. Esto es realmente un ejemplo contrario? ¿Hay otros?

Answer 1

La ecuación de la curva de Bézier cúbica es $$ F(u) = (1-u)^3 P_0 + 3 (1-u)^2 u P_1 + 3 (1-u)u^2 P_2 + u^3 P_3 $$ y por lo tanto $$F(0) = P_0, \quad F(1) = P_3$$ y, por diferenciación, $$ F'(0) = 3(P_1 - P_0), \quad F'(1) = 3(P_3 - P_2) $$

Por lo tanto, todos los puntos de control se determina únicamente por la función $F$.

Pero, como ya se ha señalado, no puede haber dos diferentes curvas de Bezier tener la misma imagen, por ejemplo, si todos los puntos de control están en una línea. No tengo una respuesta para la pregunta

Cuando son los puntos de control se determina únicamente por la imagen de una curva?

Answer 2

Supongamos $\mathbf{P}_0, \ldots \mathbf{P}_m$, e $\mathbf{Q}_0 \ldots \mathbf{Q}_m$ son dos conjuntos de puntos de control que producen el mismo una curva de Bézier de grado $m$, en el sentido de que $$ \sum_{i=0}^m b^m_i(t)\mathbf{P}_i = \sum_{i=0}^m b^m_i(t)\mathbf{Q}_i \quad \text{para todos los $t \in[0,1]$} $$ Entonces tenemos $$ \sum_{i=0}^m b^m_i(t)(\mathbf{P}_i - \mathbf{Q}_i) = \mathbf{0} \quad \text{para todos los $t \in[0,1]$} $$ Esto implica que $\mathbf{P}_i = \mathbf{Q}_i$ $i=0,1, \ldots, m$ desde los polinomios de Bernstein $b^m_0, \ldots b^m_m$ son linealmente independientes.

Hay casos en que dos conjuntos diferentes de puntos de control que se va a producir el mismo seguimiento/imagen/la trayectoria. Tomar una determinada curva, y se componen de dos polinomios que tanto el mapa de $[0,1]$ a sí mismo. Entonces es claro que usted va a obtener la misma imagen, pero las ecuaciones paramétricas será diferente, por lo que los puntos de control también será diferente.

Un ejemplo específico: considerar los dos grados 4 curvas cuyos puntos de control son

$(0,0)$, $(1,0)$, $(\tfrac53,\tfrac23)$, $(2,1)$, $(2,1)$

$(0,0)$, $(0,0)$, $(\tfrac13,0)$, $(1,0)$, $(2,1)$.

La rutina de los cálculos muestran que estas dos curvas representan la porción de la parábola $y = \tfrac14 t^2$ que se encuentra entre los puntos de $(0,0)$$(2,1)$. La primera de ellas tiene por ecuación $G(t) = (4t - 2t^2, 4t^2 - 4t^3 + t^4)$ y el segundo tiene la ecuación de $H(t) = (2t^2, t^4)$.

Estas curvas están formadas por dos diferentes reparameterizations básicos de la curva de $F(t) = (2t, t^2)$: $$ F(t) = (2t, t^2) \;,\; t = 2u - u^2 \;\; \Rightarrow \;\; G(u) = (4u - 2u^2, 4u^2 - 4u^3 + u^4) $$ $$ F(t) = (2t, t^2) \;,\; t = v^2 \;\; \Rightarrow \;\; H(v) = (2v^2, v^4) $$ Esta es una forma de grado de elevación (aunque no de la forma habitual). El grado de la curva final es el producto de los grados de la original y el grado de la reparametrization función. En el ejemplo anterior $2 \times 2 = 4$. Así, este proceso sólo puede producir un cúbicos curva de trivial en los casos en que la curva original o el reajuste de parámetros de la función es lineal.

Answer 3

Las curvas de bézier con diferentes puntos de control podría ser en realidad la misma función bajo una condición: una curva de Bézier es el grado elevado de los otros.

Una curva de Bézier cúbica se representa como (Bernstein)

$C(u)=(1-u)^3P_0+3(1-u)^2uP_1+3(1-u)u^2P_2+u^3P_3$,

o como (en el poder)

$C(u)=P_0+3(P_1-P_0)u+3(P_2-2P_1+P_0)u^2+(P_3-3P_2+3P_1-P_0)u^3$.

A partir de la alimentación de la base de la representación, podemos ver que si $(P_3-3P_2+3P_1-P_0)=0$, la curva es de grado 2 y por lo tanto puede ser representada como una curva de Bezier con 3 puntos de control.

Básicamente, una curva de Bézier con $K_1$ de los puntos de control pueden ser siempre exactamente convierte a una curva de Bezier con $K_2$ ($K_2 > K_1$) los puntos de control. Este proceso se denomina "grado de elevación". Sin embargo, en realidad no cambiar el grado de la base del polinomio. Esto sólo hace que la curva de Bézier tener más puntos de control para ser manipulados.

En resumen,
- Las curvas de bézier con diferente número de puntos de control que podría ser en realidad la misma función.
- Las curvas de bézier en el mismo número de puntos de control, pero control diferentes coordenadas del punto no puede ser la misma función, pero que podrían ser de la misma imagen/trayectoria.