Me estoy poniendo la confusión con la definición de álgebra. Cuando hablamos de $A$ es finitamente generado $R$-álgebra entonces es que % media $A$tiene una estructura de anillo y finitamente generado como un $R$ módulo. Gracias
Respuesta
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Jeff Leonard
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No, finitely generado como un álgebra no es tan fuerte como finitely generado como un módulo.
Se finitely generado como un álgebra significa que hay algún conjunto finito de elementos del álgebra, de tal manera que el subalgebra generado por los elementos es la totalidad del álgebra.
Esto significa que, aparte de la $R$-de las combinaciones lineales de los elementos, también se puede tomar todos los productos de los elementos, que bien puede darnos mucho más de los elementos.
Como un ejemplo sencillo de un álgebra (digamos más de un campo $k$) que es finitely generado como un álgebra pero no finitely generado como un módulo más de $k$, podemos tomar el polinomio anillo de $k[x]$ en uno indeterminado. Como un $k$-módulo (es decir, un espacio vectorial), esto es de infinitas dimensiones, por lo que no finitely generado. Pero como $k$-álgebra, que es generado por el elemento $x$.
