Grupo que contiene ningún subgrupo del índice 2

Question

Demostrar que si un grupo no contiene ningún subgrupo del índice 2 es normal cualquier subgrupo de índice 3.

Gracias.

Answer 1

Bosquejo de la prueba: que $H\le G$ % índice $3$. Indicar $X=G/H$ y considerar el mapa $\varphi:G\to\operatorname{Sym}(X)\cong S_3$ definidas en $[\varphi(g)](Hx)=Hxg^{-1}$.
1) muestran que $\varphi$ es un homomorfismo de grupo.
2) muestran que $\ker(\varphi)\subseteq H$.
3) usando el primer teorema de isomorfismo, deducir que $\ker(\varphi)$ es de índice $3$ $G$.
4) deducir que $\ker(\varphi)=H$.

Answer 2

Supongamos $G$ es un grupo finito con ningún subgrupo de índice $2$. Deje $H$ ser un subgrupo de índice $3$. En ese caso, no es normal que un subgrupo K contenida en H, tal que $[G : K]$ divide $3$. Desde $G$ no tiene ningún subgrupo de índice $2$, lo $[G : K] = 1, 3, 6.$

Si $G/K$ ~ $S_3$, a continuación, $G/K$ contiene un subgrupo $H/K$ de índice de $2$, ya que el $S_3$ lo hace; pero ahora el teorema de la correspondencia da

$[G/K : H/K] = [G : H] = 2$,

contrariamente a la suposición de

Por lo tanto $|K| = |H| ==> K = H$, ya que el $K$ está contenido en $H$, por lo tanto, $H$ es normal.

Answer 3

Sabemos que:

Si $G$ es un grupo tal que para el subgrupo, decir $H$, $[G:H]=n<\infty$ entonces es un subgrupo normal, $K$, $G$ tal que $K\leq H$ $[G:k]$ es finito y divide $n!$.

Para prueba de lo anterior, puede utilizar la forma @Dennis señaló en breve y así que usted puede construir su propia prueba.

Por lo tanto, aquí tenemos esto $K$ $[G:K]\big|3!=1\times 2\times 3$. Obviamente, $[G:K]\neq 1, \neq2$ para...

Answer 4

Supongamos que $H$ es un subgrupo de índice $3$. De acuerdo con el Teorema 4.4 Básicos de Álgebra abstracta de BHATTACHARYA, sabemos que hay un homomorphism $‎\varphi‎:G ‎\rightarrow‎ S_3$ tal que $Ker(‎\varphi‎)=‎\cap‎ xHx^{-1}$. Por lo $|Img(\varphi) |\mid 6$$Ker(\varphi)\subset H$. Por lo tanto,$|Img(\varphi)|\in \{1, 2, 3, 6\}$$[G:Ker(\varphi)]\geq 3$. Pero sabemos que $G/Ker(\varphi) \simeq Img(\varphi)$,$|Img(\varphi)|\in \{ 3, 6\}$. Si $|Img(\varphi)|=6$, luego tenemos a $G/Ker(\varphi)\simeq S_3$. Pero en $S_3$ tenemos $H=\{ I, (1 2 3), (1 3 2)\}$ es normal y de índice de $2$. Así que existe un subgrupo de índice$2$$G$, una contradicción. Por lo $|Img(\varphi)|=3$ y, por tanto, $|G/Ker(\varphi)|=3$ y desde $Ker(\varphi)\subset H$ llegamos a la conclusión de que $Ker(\varphi)=H$ y, a continuación, $H$ es normal.