Diferencia entre prueba de negación y de contradicción

Question

Me topé con este interesante artículo titulado "la Prueba de la negación y la prueba por contradicción" en la que el autor diferencia la prueba por contradicción y prueba por la negación y de denuncia de un abuso de lenguaje que es "malo para la higiene mental". Me sale que es probablemente una hipérbola, pero estoy realmente curioso acerca de lo que es tan horrible en el uso de los dos indistintamente y tengo problemas para ver la diferencia.

• para demostrar $\neg\phi$ asumen $\phi$ y derivar absuridity (prueba por la negación)

y

• para demostrar $\phi$ supongamos $\neg\phi$ y derivar absuridity (prueba por contradicción)

Más específicamente, el autor afirma que:

La diferencia en la colocación de las negaciones no es fácilmente apreciado por los matemáticos clásicos debido a que sus cerebros "automágicamente" cancelar dobles negaciones, tal como los buenos estudiantes automáticamente cancelar el doble negación signos.

¿Podría dar un ejemplo donde la "diferencia en la colocación de las negaciones" puede ser apreciado y hacer una diferencia?

El autor más adelante el uso de dos casos: la irracionalidad de la $\sqrt{2}$ y la declaración de "un mapa continuo [0,1) $\mathbb{R}$ es limitado" pero no puedo ver la diferencia. Si doy masajes a la semántica de la prueba un poco puedo obtener dos pruebas válidas, así como también el uso de negación/contradicción.

Podemos convertir esta prueba en uno que no uso contradicción (pero todavía utiliza Bolzano-Weierstrass)?

¿Por qué queremos hacerlo si ambos métodos de prueba son equivalentes?

Creo que el quid del artículo es la siguiente frase:

Un clásico matemático rápidamente observación que podemos conseguir cualquiera de los dos principios de la otra por enchufar ϕ y la cancelación de la doble negación en ϕ para volver a ϕ. Sí, pero la cancelación de la doble negación es, precisamente, el razonamiento principio que estamos tratando de conseguir. Estos son realmente diferentes.

He investigado un poco y parece que $\neg\neg\phi$ es la cuestión aquí. Citando a Wikipedia\Double_Negation en que:

este principio es considerado una de las leyes del pensamiento en la lógica clásica,la2 , pero es rechazado por intuitionistic lógica

Probablemente debería precisa que mis matemáticas de fondo es bastante limitado hasta ahora como estoy terminando mi primer año en la universidad. Esta es la que me molesta y yo realmente apreciaría si alguien puede que me lo explique. Términos laicos sería genial, pero se sienten libres para profundizar más así. Que va a ser una tarea para el verano (y muy interesante para los más avanzados lectores)!

Son pruebas por la contradicción y pruebas de negación equivalente? Si no, en el que la situación de las diferencias que importa y lo que les hace diferentes?

Answer 1

La prueba de la negación y la prueba por contradicción son equivalentes en la lógica clásica. Sin embargo no hay equivalente en la lógica constructiva.

Generalmente uno podría definir $\neg \phi$ $\phi \rightarrow \perp$ donde $\perp$ es sinónimo de contradicción / absurdo / falsum. A continuación, la prueba de la negación no es más que una instancia de "implicación introducción":

Si $B$ sigue de$A$,$A\rightarrow B$. Así, en particular: Si $\perp$ sigue de $\phi$, luego $\phi \rightarrow \perp$ ($\neg \phi$).

La siguiente regla es, por supuesto, sólo un caso especial:

Si $\perp$ sigue de$\neg \phi$,$\neg \neg \phi$.

Pero la regla de $\neg \neg \phi \rightarrow \phi$ no es válido en la lógica constructiva en general. Es equivalente a la ley de medio excluido ($\phi\vee \neg \phi$). Si agrega esta regla a su lógica, se obtiene la lógica clásica.

Answer 2

Intuitionistic la denegación de la doble negación es particularmente relevante en el contexto de la "existencia de las pruebas"; ver :

• Sara Negri & Jan von Platón, Estructurales Prueba de la Teoría (2001), página 26 :

La lógica clásica contiene el principio de la prueba indirecta: Si Una conduce a una contradicción, Una puede ser inferido. Axiomáticamente expresado, este principio está contenido en la ley de la doble negación, Un → A. La ley de medio excluido, Una ∨ Una, es un poco más fuerte forma de expresar el mismo principio.

En virtud de la interpretación constructiva, la ley de medio excluido no es un vacío "tautología", pero expresa la decidability de la proposición de Una. Del mismo modo, una prueba directa de la proposición existencial ∃xA consta de una prueba de Un para algunos ["testimonio"] una. Clásicamente, se puede demostrar la existencia indirectamente por el supuesto de que no existe x tal que Una, luego derivar una contradicción, y concluyendo que tal x existe. Aquí la clásica ley de la doble negación se utiliza para derivar ∃xA de ∃xA.

Por lo tanto, es correcto decir que, a partir de un constructivista punto de vista, tertium non datur [es decir, en medio excluido] no se aplica en general.

Su aplicación a la existencia de pruebas impies que la existencia de un testigo de Un es indeciso/no comprobadas, hasta que no somos capaces de "ver".

Answer 3

La prueba de la irracionalidad de $\sqrt{2}$: un número es racional o no racional. La situación de ser racional tiene que ser descartado por lo que el ser no racional de los restos. Que se llama una prueba por la negación por el autor. Una prueba por contradicción terminaría en 'racional y no racional". Con una sutil diferencia. Me tome la 2ª ejemplo de la autora y volver a escribir un poco: Aceptar f no es acotada, Entonces existe una secuencia $(x_n)$ $[0,1]$ de manera tal que la secuencia de $f(x_n)$ es creciente y no acotada (esto utiliza Contables Elección, por cierto). Por Bolzano-Weierstras no es convergente subsequence $(y_n)$ $(x_n)$ de manera tal que, como f es continua, la secuencia de $f(y_n)$ es convergente y por lo tanto limitada. De hecho, hay dos estrategias diferentes: el uso de 'tertium non datur' y 'contradicción'. Ambos están estrechamente vinculados.