Secciones globales de la línea paquete $\mathcal{O}(D)$

Question

Para $D$ un divisor en una variedad lisa $X$$\mathbb{C}$, podemos definir como de costumbre, la subsheaf $\mathcal{O} (D)=\mathcal{O}_X(D)$ de la gavilla de funciones racionales $\mathcal{K}_X$ como sigue:

$$\mathcal{O}_X(D)(U):=\{ f\in\mathcal{K}_X(U)\;|\; (f)\geq - D|_U \}$$

para cada abierto $U\subseteq X$ donde $(f)$ denota el divisor conectado a la función racional $f$.

A partir de ahora, supongamos $D\geq 0$.

A continuación, $\mathcal{O}(-D)$ es un subsheaf de $\mathcal{O}$ cuyas secciones locales son aquellas funciones que se desvanecen a lo largo de $D$ con la multiplicidad, al menos, como se indica por los coeficientes de $D$.

$\mathcal{O}(D)$ tiene como secciones locales aquellas funciones racionales que son regulares outiside de $D$ y se permite que los polos en la mayoría a lo largo de $D$, de orden en la mayoría de los indicados por los coeficientes de $D$.

Deje $\{U_\alpha\}$ ser una cubierta abierta de a $X$ tal que $D\cap U_\alpha$ está definido por la función regular $\eta_\alpha\in\mathcal{O}(U_{\alpha\beta})$, que es: $D|_{U_{\alpha}}=(\eta_\alpha)$.

La multiplicación por $\eta_\alpha$ induce locales isomorphisms de poleas:

$$\eta_\alpha\cdot:\mathcal{O}|_{U_\alpha}\to\mathcal{O}(-D)|_{U_\alpha}$$

mostrando que $\mathcal{O}(-D)$ es localmente libre de rango uno. Así, la configuración de $U_{\alpha\beta}$, obtenemos la transición de las funciones de $\psi_{\alpha\beta}:=\eta_\alpha\cdot\eta_\beta^{-1}\in\mathcal{O}^{\;*}(U_{\alpha\beta})$ que dan una cocycle la definición de la (correspondiente) de la línea de paquete de $\mathcal{O}(-D)$.

De forma análoga, el local de la multiplicación por la función racional $\eta_\alpha^{-1}$ da locales como banalizaciones para $\mathcal{O}(D)$, y el cocycle dado por el recíproco $\psi_{\alpha\beta}^\vee:=\psi_{\alpha\beta}^{-1}=\eta_\alpha^{-1}\cdot\eta_\beta$ define la línea bundle $\mathcal{O}(D)$, mostrando que la línea de paquetes de $\mathcal{O}(D)$ $\mathcal{O}(-D)$ son de doble el uno al otro.

Tenga en cuenta que tanto la línea de los paquetes son triviales cuando se limita a $X\setminus D$ porque $\psi_{\alpha\beta}$ se convierte en un coboundary de $D$.

Dada una línea bundle $\mathcal{L}$ con cocycle $\{g_{\alpha\beta}\}$, una sección global $s\in \Gamma(X,\mathcal{L})$ es administrado por un montón de locales de regular las funciones de $s_\alpha\in\mathcal{O}(U_{\alpha\beta})$ tal que $s_\beta=g_{\alpha\beta}\cdot s_\alpha$$U_{\alpha\beta}$.

Más generalmente, si las funciones están permitidos para ser racional, $s_\alpha\in\mathcal{K}_X(U_\alpha)$, esto le da un global racional de la sección $\sigma\in \Gamma (X,\mathcal{L}\otimes\mathcal{K}_X)$.

Así que, ya que claramente $\eta_\beta=\psi^\vee_{\alpha\beta}\cdot\eta_\alpha$$\eta_\beta^{-1}=\psi_{\alpha\beta}\cdot\eta_\alpha^{-1}$, obtenemos un global de sección

$$s_D:=\{\eta_\alpha\}\in\Gamma(X,\mathcal{O}(D))$$

tal que $(s_D)=D$, y una racional sección global

$$s_D^\vee:=\{\eta_\alpha^{-1}\}\in\Gamma(X,\mathcal{O}(-D)\otimes\mathcal{K}_X).$$

Preguntas:

Pregunta 1. Por definición de $\mathcal{O}(D)$ como subsheaf de $\mathcal{K}_X$,$\Gamma(X,\mathcal{O}(D))=\mathcal{O}(D)(X)=\{f\in\mathcal{K}_X(X)\;|\;(f)\geq -D\}$. Por lo $s_D\in\Gamma(X,\mathcal{O}(D))$ debe ser global de una función racional en $X$ de manera tal que sus asociados divisor es $\geq -D$. Cómo puede esta función racional $s_D$ se describe? Para ser más precisos, por ejemplo, yo sería el contenido con una descripción de $s_D|_{U_\alpha}$ en términos de $\eta_\alpha, \eta_\alpha^{-1}\in\mathcal{K}_X(U_\alpha)$. Tenga en cuenta que incluso si $\{\eta_\alpha\}$ es la expresión de $s_D$ en "local como banalizaciones", no es cierto que $s_D|_{U_\alpha}=\eta_\alpha$. Del mismo modo, no es cierto que la $s_D|_{U_\alpha}=\eta_\alpha^{-1}$, ya que la identidad de $s_D|_{U_\alpha}=s_D|_{U_\beta}$ $U_{\alpha\beta}$ debe mantener retorcida por cualquier cocycle.

Por la dualidad, la natural gavilla de inclusión $j_D=s_D^\vee:\mathcal{O}_X(-D)\to\mathcal{O}_X$ se invierte a la gavilla surjection $s_D:\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_X(D)$, $h\mapsto h\cdot s_D$. En general, hay un isomorfismo

$$\mathrm{Hom}(\mathcal{O}(-D),\mathcal{O})\cong\mathrm{Hom}(\mathcal{O},\mathcal{O}(D))=\Gamma(X,\mathcal{O}(D)),$$ dónde vamos a ir de derecha a izquierda a través del mapa en las secciones locales $s\mapsto j_s$, $j_s(f):=\frac{s}{s_D}\cdot f$ ($f$ sección local de $\mathcal{O}(D)$).

Pregunta 2. ¿Cómo vamos de izquierda a derecha en la anterior isomorfismo, $j\mapsto s_j$, en términos de $j,s_D, s_D^\vee, \eta_\alpha$ etc.?

Answer 1

Sorprendentemente, el canónica de la sección de $\mathcal{O}_X(D)$ es la constante 1: $$s_D=1 \in\Gamma(X,\mathcal{O}(D))\subset K(X)$$ De hecho, hemos isomorphisms de los haces (=como banalizaciones) de $\mathcal O_{U_\alpha}$-módulos $$g _\alpha:\mathcal{O}_X(D)|U_\alpha=\frac {1}{\eta_\alpha}\mathcal O_{U_\alpha}\stackrel {\cong}{\to} \mathcal O_{U_\alpha}:t\mapsto t\cdot \eta_\alpha$$ and $g_{\alpha\beta}=g_\alpha\circ g_\beta^{-1}=\frac{\eta_\alpha}{\eta_\beta}$ is the transition cocycle associated to the covering $(U_\alpha)$ for the line bundle $\mathcal{S}(D)$.
[mi convenio es el inverso de la suya, porque generalmente como banalizaciones van desde la restricción del paquete para el trivial paquete, mientras que ir en la dirección opuesta]

Así que la sección de $1|U_\alpha=s_D|U_\alpha \in \Gamma(U_\alpha,\mathcal{O}(D))$ es enviado por $g_\alpha$ $1\cdot \eta_\alpha=\eta_\alpha\in \Gamma(U_\alpha,\mathcal{O})$y por supuesto, tenemos $\eta_\alpha=g_{\alpha\beta}\cdot\eta_\beta$ $U_{\alpha\beta}$ por la definición de $g_{\alpha\beta}$.

Para resumir, el canónica de la sección $s_D=1 \in\Gamma(X,\mathcal{O}(D))\subset K(X)$ está representado en el dado como banalizaciones $g_\alpha$ $\mathcal O(D)$ sobre el $U_\alpha$'s de la familia de funciones regulares $\eta_\alpha\in \Gamma(U_\alpha,\mathcal{O}) $