¿Es el uso de $\lfloor x\rfloor$ legítimo para corregir las discontinuidades?

Question

Es el uso de $\lfloor x\rfloor$ legítimo para corregir discontinuidades?

En funciones como $\tan^{-1}(a \tan(x))$, el ángulo envuelve y el resultado es discontinuo.

Es legítimo para redefinir la ecuación como en $\tan(a \tan^{-1}(x)) + \pi\lfloor \pi x + \frac{1}{2} \rfloor \mathop{\rm sgn}(a)$ a mantenerlo continua? O es mejor escribirlo $\tan(a \tan^{-1}(x)) + (x - \tan^{-1}(\tan(x))) \mathop{\rm sgn}(a)$, o de alguna otra manera–o debería nunca ser corregido en el primer lugar?

Me doy cuenta de que este ejemplo es bastante trivial debido a los múltiples valores de la naturaleza de la arcotangente. Aquí hay uno que no es tan trivial: la longitud del arco de la cicloides.


A menos que me estoy perdiendo algo, el problema simplemente con el cálculo integral para la longitud de arco $\int \sqrt{2 - 2\cos(t)} dt = 2 \int |\sin(\frac{t}{2})| dt = 4-4\cos(\frac{t}{2})\mathop{\rm sgn}(\sin(\frac{t}{2}))$ es que salta a cero todos los $2\pi$. Esto podría ser corregido en una de las formas anteriores. Si se deja solo, es simplemente incorrecto, excepto en $0 < t < 2\pi$.

Ahora Wolfram|Alpha da un terriblemente complicado función . ¿Cómo W|A redefinir el proceso salga correcto para todos los $t$ (por no hablar de lo complicado)? Esto es más natural o de otra manera más legítima que la simple adición de un piso de la función?

En otras palabras: ¿hay una razón matemática para preferir un método sobre otro?

Answer 1

Al menos para $\arctan(a\tan\,x)$, se puede construir una modificación de la función que no tiene discontinuidades de salto. La ruta es utilizar, en lugar de la función del suelo, la función

$$x-\arctan\tan\,x$$

que también es constante a trozos:

La función que necesitamos es así

$$x+\arctan(a\tan\,x)-\arctan(\tan\,x)$$

Lo bueno de esto es que podemos usar la fórmula para la diferencia de dos tangentes a simplificar esta función un poco:

$$\begin{align*} x+\arctan(a\tan\,x)-\arctan(\tan\,x)&=x+\arctan\left(\frac{a\tan\,x-\tan\,x}{1+a\tan^2 x}\right)\\ &=x+\arctan\left(\frac{(a-1)\sin\,x\cos\,x}{\cos^2 x+a\sin^2 x}\right)\\ &=x+\arctan\left(\frac{\frac12(a-1)\sin\,2x}{\frac12(1+\cos\,2x)+\frac{a}2(1-\cos\,2x)}\right)\\ &=x-\arctan\left(\frac{(1-a)\sin\,2x}{1+a+(1-a)\cos\,2x}\right) \end{align*}$$

Comparar las funciones $\color{#3f3d99}{x-\arctan\left(\dfrac{(1-a)\sin\,2x}{1+a+(1-a)\cos\,2x}\right)}$ $\color{#993d71}{\arctan(a\tan\,x)}$ ($a=2/3$):

Un procedimiento similar puede hacerse para el antiderivatives de ciertas funciones racionales de seno y coseno, como en esta respuesta.

Answer 2

Discontinuidades de la anti-derivado de la aplicación del teorema fundamental del cálculo difícil. Una de las necesidades para identificar aquellas discontinuidades y correcta para los saltos. Por lo tanto, es muy tentador para averiguar si un anti-derivada continua, dicen que a lo largo del eje real, puede ser construido. Ver el artículo de Jeffrey D. y A. Rico en esta dirección.

Con el fin de hacer un anti-derivada continua se utiliza una libertad de añadir una pieza de sabios término constante, y la artesanía como sea necesario. Desde $\lfloor x\rfloor$ es una pieza de sabios constante es ACEPTAR a usarlo. Para la integral en la mano:

$$ \int \sqrt{2 - 2\cos(t)} dt = 4 \left( 1 - \cos\left( \frac{t}{2}\right) \operatorname{signo}\left( \sin \frac{t}{2} \right) \right) + 8 \left\lfloor \frac{t}{2 \pi}\right\rfloor $$ Aquí es W|Una página de la trama de esta expresión.

Wolfram|Alpha se acercó con una expresión más complicada para la pieza de sabios constante para su integral.