Serie Simple Maclaurin $e^{\tan(x)}$

Question

En un examen online de elección múltiple que hice el otro día, tuve que seleccionar la serie Maclaurin para $e^{\tan(x)}$ . Me ha sido necesario encontrar los cuatro primeros términos para establecer cuál era la respuesta correcta. En el examen de fin de curso, tendré referencia a un folleto de información útil (que contiene una aproximación polinómica de Taylor generalizada y series de Maclaurin de $e^x$ , $(1+x)^n$ , $\sin(x)$ , $\cos(x)$ y $\ln(1+x)$ ), y sin calculadora - por lo tanto, a lo largo de todo mi trabajo, incluyendo las pruebas en línea (que sí contribuyen a mi calificación), elijo sólo trabajar con este recurso, como preparación para este examen.

Como enfoque para este problema, utilicé la aproximación polinómica de Taylor generalizada para encontrar la serie de Maclaurin para $\tan(x)$ y sustituyó esta serie en lugar de $x$ en la serie de Maclaurin dada para $e^x$ y volví a comprobar mi respuesta una vez que había terminado todas las demás preguntas utilizando la aproximación polinómica de Taylor generalizada para encontrar la serie de Maclaurin para $e^{\tan(x)}$ . Evidentemente, como puedes imaginar, ambos métodos me llevaron mucho tiempo (sobre todo si tienes en cuenta que las otras diecinueve preguntas del examen me llevaron en conjunto menos de diez minutos para responderlas).

Probablemente se me escapa un concepto sencillo. ¿Puede ayudarme a establecer un enfoque más elegante para este problema?

Las opciones que me dieron fueron las siguientes:

Answer 1

Prueba lo siguiente. Si sólo quieres los cuatro primeros términos, entonces puedes calcular todo $\bmod x^4$ . Entonces

\begin {eqnarray*} \tan x &=& \frac { \sin x}{ \cos x} \\ & \equiv & \frac {x - \frac {x^3}{6}}{1 - \frac {x^2}{2}} \bmod x^4 \\ & \equiv & \left ( x - \frac {x^3}{6} \right ) \left ( 1 + \frac {x^2}{2} \right ) \bmod x^4 \\ & \equiv & x + \frac {x^3}{3} \bmod x^4. \end {eqnarray*}

Entonces

\begin {eqnarray*} e^{ \tan x} & \equiv & e^x e^{ \frac {x^3}{3} } \bmod x^4 \\ & \equiv & \left ( 1 + x + \frac {x^2}{2} + \frac {x^3}{6} \right ) \left ( 1 + \frac {x^3}{3} \right ) \bmod x^4 \\ & \equiv & 1 + x + \frac {x^2}{2} + \frac {x^3}{2} \bmod x^4. \end {eqnarray*}

Esto me llevó algo menos de 5 minutos en el ordenador, y a mano probablemente habría sido un poco más rápido. ¿Es lo suficientemente rápido?

Answer 2

Basado en las opciones dadas en su imagen:

las opciones a, b, e, f se pueden descartar inmediatamente: la opción a porque reconoces que es la expansión de $\exp(x)$ La opción e porque $\tan x\sim x$ y $\exp(x)\sim 1+x$ cuéntenos la $x$ término debería estar ahí. Las opciones b y f son respuestas de broma.

La opción d es incorrecta porque, para $x$ simplemente mayor que cero, $\exp(\tan x)>e^x$ mientras que la expansión en la opción d es menor que la expansión de $e^x$ .

Answer 3

Si ya le han dado las expansiones para $\sin(x),\cos(x)$ y $e^x$ entonces: $$\tan{x}\simeq a_1x +a_3x^3+\cdots =\frac{x - x^3/6 + \cdots}{1 - x^2/2+\cdots}$$ (Ya que $\tan x$ es impar). Multiplique ambos lados y podrá encontrar fácilmente los valores de $a_0$ : $$a_1 = 1,-1/2 + a_3 = -1/6 \rightarrow a_3=1/3$$ Ten en cuenta que en realidad no tienes que preformar la multiplicación completa. Así que ahora: $$e^{\tan x} = 1 + (x + x^3/3) + (x + x^3/3)^2/2 + (x + x^3/3)^3/6 + \cdots $$ $$= 1 + x + x^2/2 + x^3/2 + \cdots$$ Dónde de nuevo no es necesario realizar la multiplicación completa - sólo los términos que se ven contribuyen a las potencias inferiores en $x$ .

Answer 4

Vea este artículo: Fórmula exponencial

Si conoce la expansión para $f(x)$ en los poderes de $x$ ¿Qué es la expansión de $e^{f(x)}$ ? Eso es lo que dice la fórmula exponencial.

Answer 5

Se puede utilizar simplemente la definición de la serie de Taylor:
$$ f(x) \approx \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n . $$ Para utilizarlo, primero hay que encontrar las derivadas de la función $f(x) = e^{\tan x}$ , evaluado en el lugar donde se quiera centrar la serie. Estas primeras derivadas son \begin {align*} f(x) &= e^{{ de la que se trata. \tan x} \\ f'(x) &= e^{{ de la que se trata. \tan x} \sec ^2 x \\ f''(x) &= e^{ \tan x}( \sec ^4 x + \sec ^2 x \tan x) \\ f'''(x) &= e^{ \tan x}( \sec ^6 x + 2 \sec ^4 x + 6 \sec ^4 x \tan x + 4 \sec ^2 x \tan ^2 x) \end {align*} y así, si queremos los primeros términos de una serie de MacLaurin, evaluamos estas derivadas en 0 para obtener $f(0) = 1$ , $f'(0) = 1$ , $f''(0) = 1$ y $f'''(x) = 3$ . Entonces el cuarto polinomio de Taylor viene dado por $$ e^{\tan x} \approx \frac 1{0!} + \frac 1{1!} x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac3{3!} x^3= 1 + x + \frac 12 x^2 + \frac 12 x^3. $$