cuando es Aut(G) abelian

Question

deje de $G$ ser un grupo tal que $Aut(G)$ es abelian. es entonces $G$ abelian?

esta es una especie de generalización de la conocida ejercicio, que $G$ es abelian cuando $Aut(G)$ es cíclico. pero yo no tengo ni idea. al menos, el finitely generado abelian grupos $G$ que $Aut(G)$ es abelian pueden ser clasificados.

Answer 1

De MathReviews:

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MR0367059 (51 #3301) Jonás, D.; Konvisser, M. Algunos no abelian $p$-grupos con abelian automorphism grupos. Arch. De matemáticas. (Basilea) 26 (1975), 131--133.

Este documento se expone, para cada uno de los prime $p$, p $+1$ nonisomorphic grupos de orden $p^8$, con primaria abelian automorphism grupo de orden $p^{16}$. Todos estos grupos tienen primaria abelian y isomorfo colector subgrupos y colector cociente de grupos, y son nilpotent de clase dos. Todos sus automorfismos son centrales. Con los métodos del revisor y Liebeck también se podría construir otros grupos, pero las órdenes sería mucho mayor.

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Para su INFORMACIÓN, he encontrado esto a través de una búsqueda en google.

La primera para la construcción de un grupo (del orden de us $64 = 2^6$) fue G. A. Miller* en 1913. Si usted sabe algo acerca de esta temprana grupo Americano teórico (estudió los grupos de orden 2, entonces los grupos de orden 3, entonces...y él era bueno en eso, y escribió cientos de artículos!), esto no es tan sorprendente. He encontrado un buen tratamiento de "Miller grupos" en la Sección 8 de

http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0602/0602282v3.pdf

(*): La página de la wikipedia parece un poco dura. Como en el presente ejemplo muestra, él era un chico muy inteligente.

Answer 2

La respuesta es No. (Pete me pegaba a él.)

El primer ejemplo parece estar en un 1913 papel de GA Miller no abelian grupo cuyo grupo de isomorphisms es abelian, Mensajero de Matemáticas. 48 (1913) 124--125.

Answer 3

Dos observaciones adicionales:

1. Cualquier grupo cuyo automorphism grupo abelian debe tener nilpotency de clase en la mayoría de los dos, ya que el interior automorphism grupo, un subgrupo de la automorphism grupo abelian.
2. Para grupos finitos, siendo abelian y la automorphism grupo abelian así implica cíclico. En el caso infinito, existen localmente cíclico de los grupos que no son cíclicos, y estos han abelian automorphism grupos. Por ejemplo, el grupo aditivo de los números racionales tiene una abelian automorphism grupo (el grupo multiplicativo de los números racionales).

Otras dos referencias (además de Miller y Jonás-Konvisser se mencionó anteriormente) para ejemplos de 2-grupos con abelian automorphism grupos:

1. Algunos nonabelian de 2 grupos con abelian automorphism grupos de Rebecca Roth Struik, Archiv der Mathematik, ISSN 1420-8938 (en Línea), ISSN 0003-889X (Impresión), Volumen 39,Número 4, Página 299 - 302(Año 1982); MathReviews Número: 0684397

2. Algunos de los nuevos no abelian de 2 grupos con abelian automorphism grupos de Ali-Reza Jamali, Revista de Teoría de grupos, ISSN 14435883 (impresa), ISSN 14434446 (en línea), Volumen 5,Número 1, Página 53 - 57(Año 2002); MathReviews Número: 1879516

Tengo más notas sobre los grupos cuya automorphism grupo abelian aquí y aquí.

Answer 4

Ha habido algunas actividades sobre este tema recientemente. No hay ningún ejemplo de un no-especial finito $p$-grupo que tiene abelian automorphism grupo era conocido hasta hace muy poco. Una clase de estos grupos se construye en "V. K. Jain, M. K. Yadav, En finito p-grupos de automorfismos son todas las centrales, Israel J. Matemáticas. 189 (2012), 225 - 236." Este documento también contiene una encuesta rápida de los resultados sobre el tema y una gran bibliografía. Algunos más, los diferentes tipos de ejemplos están disponibles en http://arxiv.org/pdf/1304.1974.pdf

Answer 5

Una relacionar: Si $Aut(G)$ es cíclico, a continuación, $G$ es cíclico.