La escala de longitud de $L$ tiene que estar presente en el denominador de dimensiones razones – sólo los logaritmos de cantidades adimensionales son realmente "bien definida" a menos que uno quiera introducir unidades extrañas, tales como el "logaritmo de un metro".
Por otro lado, la dependencia de la $L$ es en gran medida trivial y no físico para la mayoría de propósitos. Reemplace $L$ $K$ y obtendrá
$$ V_K(x,y) = -\ln \left( \frac{|\vec x|}{K} \right) = V_L(x,y) +\ln(K/L) $$
que sólo se diferencia por el aditivo de cambio, $\ln(K/L)$ a partir de la original potenciales que usted ha mencionado. Cambios de potenciales por una constante son en gran parte irrelevante. En particular, el gradiente de la $V$, $\nabla V$, no ha cambiado en absoluto. Para derivar la simple reclamación sobre el cambio anterior, sólo utilicé $\ln(A/B) = \ln(A)-\ln(B)$ un par de veces.
La transformada de Fourier de su potencial puede ser derivada al darse cuenta de lo que el Laplaciano de la potencial. El Laplaciano es el de dos dimensiones delta-función. En el impulso de la base, es equivalente a la identidad
$$ (p_x^2+p_y^2) \tilde V(p_x,p_x) = 1 $$
que se resuelve fácilmente por $\tilde V =1/(p_x^2+p_y^2)$. Sin embargo, el comportamiento de $\tilde V$ no está muy bien definida para el punto de $p_x=p_y=0$ donde uno puede agregar un múltiplo de un delta-función. Esto es debido a que
$$(p_x^2+p_y^2) \delta(p_x) \delta (p_y) = 0$$
por lo $\tilde V \to \tilde V + K \delta(p_x)\delta(p_y)$ transforma una solución en otra solución. Por supuesto, las dos dimensiones delta-función en el impulso de espacio no es otra cosa que la transformada de Fourier de la constante plazo $\ln(K/L)$ discutimos en la posición de base para que los dos ambigüedades son las mismas.
Ahora, se podría pensar que el impulso de la base de la forma del potencial, $1/(p_x^2+p_y^2)$, es único porque no tiene escala de longitud en ella y no en el delta-función en él, mientras no vemos una correspondiente forma única de la posición de la base de la potencial debido a que las expresiones con cualquier longitud de escala son igual de buenas. Pero esto es realmente una ilusión. Como una distribución, $1/(p_x^2+p_y^2)$ está mal definida (en el mismo sentido de lo $\ln(x^2+y^2)$ estaría en la posición de base) y debemos especificar cuál es su comportamiento cerca del origen.
Esta ambigüedad es la de dos dimensiones de la generalización de las sutilezas conectado con el uno-dimensional de "el valor del capital" de $1/x$ como una distribución. $1/x$ multiplicado por una función de prueba está bien definido si estamos de acuerdo en que la simétrica de la región de $x\in(-\epsilon,+\epsilon)$ es eliminado. Que es lo que queremos decir por el valor del principal.
Por otro lado, si calcular la dos-dimensión integral de la $1/(p_x^2+p_y^2) f(p_x,p_y)$ donde $f$ es continua cerca del origen, puede cambiar las coordenadas polares donde $r$ $r\,dr\,d\phi$ es golpeado por $1/r^2=1/(p_x^2+p_y^2)$, por lo que todavía tiene un divergentes integral que tiene que ser regulado. Una manera regular es la corte si apagado y retire el disco de $r<p_{\rm min}$ para algunos pequeños $p_{\rm min}$. Un corte induce un aditivo cambio de dependencia de la que es logarítmica en la corte. Para las mismas dimensiones razones como antes, que uno tiene que tomar la logarítmica adimensional entonces, ¿qué necesitamos para restar (o agregar?) para borrar más de la dependencia en la frecuencia de corte es algo así como
$$ f(0) \ln(p_{\rm min} / L_P) $$
donde $L_P$ es la contrapartida de $L$, la escala de longitud con el que comenzó. Lo siento si he omitido algunos coeficientes adimensionales. Claramente, el cambio de $L_P$ es equivalente a la redefinición de la distribución por parte de un aditivo cambio por $\delta^{(2)}(\vec p)\times L_P$ $L_P \sim 1/L$ cumple la misma función de la escala que había antes, en la posición de base.
