Encontrar la homología grupo de $H_n (X,A)$ al $A$ es un conjunto finito de puntos

Question

Es uno de los problemas en Hatcher del libro.

Necesito encontrar la homología grupo de $H_n (X,A)$ al $A$ es un conjunto finito de puntos y $X$ $S^2$ o $T^2$.

Me di cuenta de que para $n>1$, podría usar el largo de la secuencia exacta y hacer $H_n (X,A)$ isomorfo a $H_n (X)$.

Sin embargo, estoy atascado con $H_1 (X,A)$$H_0 (X,A)$.

Puede alguien darme una idea de como puedo encontrar estos?

Answer 1

Supongamos $A=\{x_1,\dots,x_k\}$. A continuación,$H_0(A)=\mathbb{Z}^k$$H_i(A)=0$$i>0$.

Si $X=S^2$ o $T^2$ tenemos $H_0(X)\cong\mathbb{Z}$, y como Matt N dijo en su comentario en cualquiera de los casos $H_0(X,A)\cong\tilde{H}_0(X/A)=0$.

Si $X=S^2$ $H_1(X)=0$ por lo que el l.e.s. tiene una parte como $$0\rightarrow H_1(X,A)\rightarrow \mathbb{Z}^k\rightarrow \mathbb{Z}\rightarrow 0 $$ and so $H_1(S^2,A)\cong\mathbb{Z}^{k-1}$.

Si $X=T^2$$H_1(X)=\mathbb{Z}^2$, por lo que tenemos $$ 0\rightarrow \mathbb{Z}^2\rightarrow H_1(X,A)\stackrel{\partial}{\rightarrow} \mathbb{Z}^k\rightarrow \mathbb{Z}\rightarrow 0$$ A continuación, $\ker\partial\cong\mathbb{Z}^2$ y su imagen es $\cong\mathbb{Z}^{k-1}$. Yo creo que esto es suficiente para la conclusión de $H_1(T^2,A)\cong \mathbb{Z}^{k+1}$

Answer 2

Este utiliza la Proposición 2.22 en Hatcher(y usted debe probar $(X,A)$ es un buen par).

Sin decir demasiado, aunque supongo que "usted" lo hizo, lo resuelto por la búsqueda de una homotopy equivalencia entre el espacio $S^2/A$ o $T^2/A$ y un CW complejo. En el primer caso, se puede ver la homotopy entre el $S^2/A$ y un CW complejo dado por $k+1$ 0-células(donde $A$ es una colección de $k$ puntos), $2k$ 1-células, y 2 de 2 células. Gráficamente nos encargamos de la primera $k$ 0-células en un encantador regular $k$-gon, con un valor atípico $x$ en la parte de atrás. Usamos la primera $k$ 1-las células para agregar bordes a nuestra $k$-gon, y el segundo $k$ conectando los vértices de la $k$-gon a la de las demás. A continuación, las dos células se conectan con sus límites pegado a la $k$-gon. Mediante la contratación de los 1-las células unidas a $x$, vemos que esto es homotópica a $S^2/A$, pero esto tiene un CW complejo de la estructura, así es más fácil de calcular.