Estoy teniendo problemas para entender aleph números. Comprendo $\aleph_0$ es un infinito contable, pero después de eso, estoy perdido. ¿Qué son los $\aleph_1,\aleph_2,\aleph_3$, etc. a $\aleph_n$? Hay una cantidad infinita de $\aleph$ o de los números de hacer que parar en algún número finito?
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DanV
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Para entender el $\aleph$ números correctamente, usted necesita entender los números ordinales primero, al menos un poco.
La idea de un ordinal es el modelo de la noción de una longitud de la cola para el baño en una fiesta. Hay un vacío de la cola, a continuación, hay una persona que espera, luego otro, y así sucesivamente. Pero aquí podemos hablar de las infinitas colas así. En algún punto tenemos una infinita cola, pero todo el mundo en el que la cola es sólo un número finito de la gente desde el cuarto de baño. Este es el mismo como los números naturales, hay infinitamente muchos de ellos, pero cada uno es precedido por sólo un número finito.
Luego viene los más pobres schmoe usted tuvo la suerte de encontrar. Y él tiene que esperar para que todos aquellos infinitamente a muchas personas a usar el baño antes de que él puede. Pobre hombre. Pero podría ser peor, alguien viene y se lleva a cabo después de este pobre schmoe. Y luego otro y otro y pronto tenemos dos copias de los números naturales apilados uno encima de otro.
Y podemos continuar de esta manera. En algún momento se vuelve imposible visualizar correctamente. Es sólo un muy, muy largo tiempo para el baño, y que realmente dan lástima en todo aquel que viene a pararse en la fila siguiente.
Pero después de haber hecho esto para cada contables de la cola sea posible, usted tiene un incontable de cola, y cada persona en esa cola es sólo una contables número de personas de distancia. Pero he aquí que llega una persona nueva, y ella tiene que esperar una cantidad no numerable de personas antes de que ella puede ver el interior de ese cuarto de baño. Esa chica está de pie en el primer innumerables punto de la cola. Y, por supuesto, podemos continuar de nuevo, y extender y ampliar y así sucesivamente y así sucesivamente.
Bien, ¿cómo podemos sacar de todo esto a la $\aleph$ números? El $\aleph$ números nos dicen cuántas personas hay en la cola, no se cuánto tiempo es. Para finito de las colas de las dos nociones coinciden, pero infinitas colas que no. Está claro que la cola descrito por $\Bbb N$, y la cola se describe mediante la adición de uno más después de que ambos son contables. Si la nueva persona que se había cortado en la línea, se iba a mear a un montón de gente, pero la longitud de la cola sigue siendo la misma.
Por lo $\aleph$ números vienen a decirnos cómo muchas personas están de pie en esa línea. Pero con el fin de hacer de este un bien definida la idea, se utilice el menor de la cola, que puede llevar a que muchas personas. Por lo $\aleph_0$ es el tamaño de la cola más corta que es infinito, es decir, la cola en la que cada persona tiene sólo un número finito de predecesores; $\aleph_1$ es el tamaño de la cola donde hay una cantidad no numerable de personas, pero cada uno tiene en la mayoría de las $\aleph_0$ predecesores; $\aleph_2$ es el tamaño de la cola más corta en la que cada persona tiene en la mayoría de las $\aleph_1$ predecesores.
Esto pasa, y podemos ver fácilmente cómo una cola de tener más de $\aleph_1$ y más de $\aleph_2$ y más de $\aleph_n$, para cada finito $n$, está formado. Pero podemos seguir, y el siguiente el cardenal es exactamente la de una línea en la que cada persona tiene en la mayoría de las $\aleph_n$, para algunos $n$, predecesores. Este es un límite cardenal y se denota por a $\aleph_\omega$, ya que el $\omega$ es el primer ordinal infinito (que designa los números naturales).
Y así podemos seguir, y demostrar que si $\alpha$ es un ordinal, entonces no es un cardenal con exactamente $\alpha$ cardenales anterior, y llamamos a este cardenal $\aleph_\alpha$.
Así que, ¿cuántos hay? Bien, esta asignación es un bijection entre los ordinales y los $\aleph$ números. Desde la colección de todos los números ordinales es demasiado grande para ser considerado como un conjunto, la colección de todos los cardenales, es demasiado grande para ser un juego así. Y nosotros llamamos a estas colecciones ", que es propio de las clases" a decir que no son conjuntos, pero las colecciones que mientras lo suficientemente grande, todavía son colecciones podemos hablar.
Michael Hardy
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Este es un tema sobre el cual los matemáticos, que no se han estudiado la teoría de conjuntos más allá de lo que realmente utilizan a menudo son confundidos.
$\aleph_1$ es la cardinalidad del conjunto de todos los contables de los números ordinales.
$\aleph_2$ es la cardinalidad del conjunto de todos los números ordinales de cardinalidad $\le\aleph_1$.
$\aleph_3$ es la cardinalidad del conjunto de todos los números ordinales de cardinalidad $\le\aleph_2$.
${}\qquad\vdots$
$\aleph_\omega$ es la cardinalidad del conjunto de todos los números ordinales de cardinalidad no más grande que algunos de los $\aleph_n$ finitas $n$.
$\aleph_{\omega+1}$ es la cardinalidad del conjunto de todos los números ordinales de cardinalidad $\aleph_\omega$.
${}\qquad\vdots$
Existe una $\aleph_\alpha$ por cada número ordinal $\alpha$.
Si cada conjunto puede ser bien ordenado --- una proposición equivalente al axioma de elección --- a continuación, cada infinita cardinalidad es uno de estos.
$2^{\aleph_0}$ es la cardinalidad del conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto de cardinalidad $\aleph_0$. Si el continuum hipótesis es verdadera, entonces no hay cardinalidad entre las $\aleph_0$$2^{\aleph_0}$. Si cada cardinalidad es uno de los alephs, entonces la hipótesis continua es equivalente a $2^{\aleph_0}=\aleph_1$. Esto es consistente con la Zermelo--Fraenkel axiomas más el axioma de elección que $2^{\aleph_0} = \aleph_n$ para algunos finito $n>1$. No es coherente que $2^{\aleph_0} = \aleph_\omega$ ya que se puede demostrar que $2^{\aleph_0}$ no es el supremum de cualquier contables conjunto de cardinalidades. Pero que es coherente que $2^{\aleph_0} >\aleph_\omega$.
