$A^2=A^*A$.Por qué $A$ es Hermitian de la matriz?

Question

Deje $A$ $n \times n$ matriz y $A^2=A^*A$. ¿Por qué es $A$ un Hermitian de la matriz?

Answer 1

Primero vamos a hacer un cálculo (donde usamos la asunción) $$ (^*)^*(A-A^*)=(A^*-A) (- A^*)=A^*A-(A^*)^2-A^2+AA^*=AA^*-(A^*)^2. $$ Ahora $$ ((A^*)^2)^*=A^2=A^*, $$ así $$ (^*)^2=(A^*A)^*=A^*A. $$ La inserción de esta en el cálculo anterior, $$ (^*)^*(A-A^*)=AA^* -^* $$

Pero entonces la traza de la matriz en el lado izquierdo es cero, ya que (aquí usamos que la traza es lineal y que $\text{tr}\,(AB)=\text{tr}\,(BA)$) $$ \text{tr}\,(AA^*^*A)=\text{tr}\,AA^*-\text{tr}\,^*A=0. $$ Por lo tanto $$\text{tr}\, (- A^*)^*(a-a^*)=0. $$ Por lo tanto, el cuadrado de la norma de Frobenius de $A-A^*$ es cero. De ello se desprende que $A-A^*=0$, y por lo tanto que $A$ es Hermitian.

Answer 2

Esta pregunta es la complejidad de su homólogo de

si la matriz $AA^T=A^2$ $A$ es simétrica?

Con el producto interior $\langle X,Y\rangle=\operatorname{Re}\operatorname{tr}(XY^\ast)$ definido en el real espacio lineal $M_n(\mathbb C)$, Hermitian matrices son ortogonales a sesgar-Hermitian matrices. Ahora, si denotamos el Hermitian y skew-Hermitian partes de $A$, respectivamente,$H$$K$, $AA^\ast=A^2$ implica que el $\langle K,K\rangle=\langle K,H\rangle=0$. Por lo tanto, $K=0$ $A$ es Hermitian.