Mostrar que $O$ traza un círculo en el lápiz definido por $A$ $B$

Question

Mostrar que $O$ traza un círculo en el lápiz definido por $A$ $B$

Answer 1

Vamos a ampliar la imagen original para obtener el siguiente Aquí, $G$, $E$, y $F$ son puntos medios de $BC$, $CD$, y $DA$ respectivamente.

A continuación, $GE$ $OF$ ambos son paralelos y de igual $\frac12BD$, $EF$ y $OG$ ambos son paralelos y de igual a $\frac12AC$. Desde $AC\perp BD$, $OGEF$ es un rectángulo.

Desde $OGEF$ es un rectángulo, $OE$ $GF$ son iguales y se cortan en su punto medio común $N$.

Siguiente, ya $\angle CME=\angle MCE=\angle MBH$, tenemos $$\begin{aligned}\angle HMB+\angle BMC+\angle CME &= \angle HMB+90^\circ + \angle MCE\\ &=\angle HMB+90^\circ + \angle MBH\\ &=180^\circ. \end{aligned}$$ Así, $M$, $E$, y $H$ son colinear. En particular, $ME\parallel IO$ donde $I$ es el centro del círculo,$c$.

Por otro lado, los dos pequeños arc $CD$ $AB$ agregar a a $180^\circ$, por lo que $$CD^2+AB^2 = 4R^2,$$ donde $R$ es el radio de la $c$. Desde $ME =\frac12 CD$,$CD = IO$. Por lo tanto $OMEI$ es un paralelogramo, y por lo $N$ es el punto medio de la $MI$.

Ahora, mira a $\triangle MOI$, tenemos $$MO^2+OI^2=R^2.$$ Por lo $NO$ es constante por la mediana de la longitud de la fórmula.

Por último, se mostró ya que $E$, $M$, y $H$ son colinear, por lo $EH\perp HO$. Por lo tanto $H$ pertenece al círculo con el centro $N$ y radio de $NO$.

Answer 2

A partir de la pregunta, creo que las coordenadas de M debe ser algo de las cantidades dadas. WLOG, también podemos suponer que C de la ecuación es $x^2 + y^2 = R^2$ (para algunas de las $R$) con centro en $O(0, 0)$.

$OM$, cuando se extiende, será la línea de $L$ cuya ecuación se puede encontrar. $L$ cortará $C$$X$$Y$. Sus coordenadas se puede encontrar mediante la resolución de $L$$C$.

$L'$ es normal a $L$ y pasa a través de $M$. La ecuación de $L'$ puede ser encontrado. La solución de $L'$ $C$ nos dará las coordenadas de $B_1$$B_2$.

Si $A$$X,$, entonces B será en $B_1$ o $B_2$ (y viceversa). Deje $P$ ser el punto medio de la cuerda $AB_1$. $Q$ se define de forma similar. $R$ $S$ se define de forma similar si $A$$Y$. Tenga en cuenta que las coordenadas de a $P, Q, R$ $S$ se pueden encontrar.

Agregado en la imagen del post, el locus es el círculo. Por el teorema del punto medio, no es difícil probar que $PQRS$ es un rectángulo. Por lo tanto, son contra-cíclico de los puntos de un círculo. Ese círculo es exactamente la necesaria porque, $P, Q, R, S$ son particulares cuatro puntos del círculo.

El uso de las coordenadas de P y R como extremos de un diámetro del círculo, obtenemos la ecuación del círculo.

Answer 3

Llame a $I$ el centro del círculo y elige dos puntos de $O$ $M$ en el círculo. Queremos saber cuando podemos encontrar $A,B$ sobre el círculo que $O$ es la media de $[AB]$ $AMB$ es un ángulo recto.

Mirando a $O$, sólo hay un acorde $[AB]$ cuyo punto medio es $O$, y tenemos $r^2 = IO^2 + OA^2$. A continuación, tenemos $M$ a estar en el círculo de diámetro $[AB]$, por lo que queremos $MO = OA$.

Poner esto juntos, obtenemos la ecuación de $r^2 = IO^2 + MO^2$ o $(IO^2-r^2) + (MO^2) = 0$.

Pero $IO^2-r^2 = 0$ es la ecuación de la circunferencia, y $MO^2 = 0$ es la ecuación de la degenerados círculo de punto en $M$. Ya que estamos mirando una combinación lineal de los dos, el locus de $O$ es de hecho un círculo en el lápiz que contiene $C$$M$.

Creo que el otro tipo de respuesta muestra que $H$ tiene el mismo locus como $O$.