Significado de un conjunto en el exponente

Question

Deje $ D = 2^\mathbb{N} $, es decir, D es el conjunto de todos los conjuntos de números naturales.

¿Cuál es el significado de esta definición? Intuitivamente, yo diría que $ D = \{1,2,4,...\} $ pero la explicación "conjunto de todos los conjuntos" me lleva a la suposición de que esto está mal.

Answer 1

Escribimos $A^B$ como el conjunto de todas las funciones de $f\colon B\to A$. Es decir, $f$ es una función cuyo dominio es $B$ y toma valores en $A$.

En este caso,$A=\{0,1\}$$B=\Bbb N$. Así que este es el conjunto de todas las funciones de $\Bbb N$ a $\{0,1\}$. Si pensamos en ellos como indicador de funciones, entonces tenemos una manera natural de pensar acerca de la $2^\Bbb N$ como el juego de poder de $\Bbb N$, también se denota por a $\mathcal P(\Bbb N)$, que es el conjunto de todos los subconjuntos de a $\Bbb N$.

(En algunas partes de la teoría de conjuntos donde esta notación puede ser confundido con otros tipos de exponenciación, se puede ver la notación ${}^BA$ utiliza en su lugar.)

Answer 2

Un juego de poder $\mathcal P(S)$ de un conjunto $S$ a veces denotado $2^S$. Si $S$ es un conjunto finito con $|S| = n$ elementos, entonces el número de subconjuntos de a$S$$|\mathcal P(S)|=2^n$. Esta es la motivación para la notación $2^S$.