La desigualdad pregunta

Question

$$a,b,c,d\ge 0$$ $$a\le 1$$ $$a+b\le 5$$ $$a+b+c\le 14$$ $$a+b+c+d\le 30$$

Demostrar que $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\le 10$.

Podemos restar las desigualdades para obtener la respuesta, pero que está mal... no puedo pensar en cualquier otro método... consejos o sugerencias serán de gran ayuda.

Answer 1

La función de $f(a,b,c,d)=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}$ no tiene puntos estacionarios dentro de la poliédrica de dominio (ya que las derivadas parciales no puede desaparecer debido a la concavidad de la función de raíz cuadrada), de ahí su máximo se alcanza en la frontera. Por repitiendo el mismo argumento en el límite del dominio, tenemos que el máximo se alcanza en el vértice del poliedro, y por la comprobación de todos ellos tenemos que $$\operatorname{argmax}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d})=(1,4,9,16),$$ a partir de la cual $$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\leq 1+2+3+4 = 10$$ de la siguiente manera.

Answer 2

Deje $(a_0,b_0,c_0,d_0)$ ser un punto en el dominio donde se $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + \sqrt{d}$ está maximizada. Esto es suficiente para mostrar que $a_0 = 1$, $a_0 + b_0 = 5$, $a_0 + b_0 + c_0 = 14$, y $a_0 + b_0 + c_0 + d_0 = 30$ para, a continuación, se puede resolver para las cuatro variables para conseguir $(a_0,b_0,c_0,d_0) = (1,4,9,16)$.

Comenzamos con la última ecuación y proceder hacia atrás. Tenga en cuenta que si $a_0 + b_0 + c_0 + d_0$ eran estrictamente menor que $30$, se podría aumentar el$d_0$, ligeramente manteniendo el resto de variables fijas, y nos gustaría permanecer en el dominio todavía $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + \sqrt{d}$ aumentaría, contradiciendo maximality de $\sqrt{a_0} + \sqrt{b_0} + \sqrt{c_0} + \sqrt{d_0}$. Así que debemos tener $a_0 + b_0 + c_0 + d_0 = 30$. Tenga en cuenta que desde $a_0 + b_0 + c_0 \leq 14$ esto significa $d_0 \geq 16$. En particular, $d_0 > c_0$ desde $c_0 \leq 14$.

Mover a la ecuación de $a_0 + b_0 + c_0 \leq 14$, si desigualdad estricta, celebrado aquí, entonces uno podría reemplazar a $c_0$ $c_0 + \epsilon$ $d_0$ $d_0 - \epsilon$ para algunos pequeños $\epsilon$ y nos quedaríamos en el dominio. Sin embargo, debemos tener $\sqrt{c_0 + \epsilon} + \sqrt{d_0 - \epsilon} > \sqrt{c_0} + \sqrt{d_0}$. Para ver por qué, el cuadrado de esta desigualdad que vemos es equivalente a $$c_0 + d_0 + 2\sqrt{(c_0 + \epsilon)(d_0 - \epsilon)} > c_0 + d_0 + 2\sqrt{c_0d_0}$$ Restando $c_0 + d_0$ desde ambos lados y el cuadrado el resultado, vemos que esto es el mismo que $$(c_0 + \epsilon)(d_0 - \epsilon) > c_0d_0$$ Equivalentemente, $$(d_0 - c_0)\epsilon - \epsilon^2 > 0$$ Desde $d_0 \geq 16 > 14 \geq c_0$, esto mantendrá la si $\epsilon$ es lo suficientemente pequeño.

En resumen, si tuviéramos $a_0 + b_0 + c_0 < 14$, el ajuste de los $c_0$ $d_0$ como anteriormente, el resultado es un nuevo punto de $(a,b,c,d)$ en el dominio para el que $\sqrt{c} + \sqrt{d}$ es estrictamente mayor que $\sqrt{c_0} + \sqrt{d_0}$. Desde $a = a_0$ $b = b_0$ son invariables, $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + \sqrt{d}$ es mayor que $\sqrt{a_0} + \sqrt{b_0} + \sqrt{c_0} + \sqrt{d_0}$, contradiciendo la maximality de $\sqrt{a_0} + \sqrt{b_0} + \sqrt{c_0} + \sqrt{d_0}$.

Llegamos a la conclusión de $a_0 + b_0 + c_0 = 14$. Para obtener las otras dos desigualdades, que acaba de repetir el procedimiento anterior para obtener $a_0 + b_0 = 5$, y, a continuación,$a_0 = 1$.

Answer 3

$d$ debe ser maximizada, por lo que la última desigualdad se convierte en una ecuación.

Mantenga $a,b$ fijo, y varían $c$$d=30-a-b-c$, quizás $c$ debe ser maximizado para la tercera desigualdad se convierte en una ecuación.

Answer 4

a<=1 ,a+b<=5 O, b<=4 a+b<=5 , a+b+c<=14 c<=9 a+b+c<=24 ,a+b+c+d<=30 d<=16 sqrt a +sqrt (b +sqrt c+sqrt d<=sqrt 1+sqrt 4+sqrt 9+sqrt 16 sqrt a+sqrt (b+sqrt c+sqrt d <=10