Me parece muy extraño que $$ e^x \geq x^e \, \quad \forall x \in \mathbb{R}^+.$$
He rasqué la cabeza por un largo tiempo, pero no pudo encontrar ninguna razón lógica. ¿Alguien puede explicar cuál es la razón detrás de la desigualdad anterior? Sé que esto es de matemáticas de la comunidad, pero agradecería una explicación más intuitiva que la de un técnico.
No una rigurosa prueba en lo absoluto, pero que podría tomar la $xe$th raíz de ambos lados, y luego tenemos
$$ e^{1/e} \geq x^{1/x} $$
Que $x^{1/x}$ alcanza un máximo en $x = e$ puede ser demostrado con bastante franqueza.
ETA2: UNA imagen vale-bueno, un montón de palabras, si bien no es de un mil:
ETA: OK, una discusión de por qué la $x^{1/x}$ alcanza un máximo en $x = e$. Para obtener el valor real que requiere cálculo, pero podemos conseguir algunos intuición por el hecho de que se alcanza un máximo en algún lugar cerca de $e$, como sigue.
Deje $f(x) = x^{1/x} = \sqrt[x]{x}$. Para $x = 1$, claramente tenemos $f(x) = 1$. Para$x = 2$,$f(x) = \sqrt{2} > 1$. Hasta el momento, se va hacia arriba.
Ahora, para$x = 4$,$f(x) = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2} = f(2)$. Y para $x$ realmente grande-digamos, $x = 256$,$f(x) = \sqrt[256]{256} = \sqrt[128]{16} = \sqrt[64]{4} = \sqrt[32]{2}$. No podemos saber exactamente lo que el $32$nd raíz de $2$ es, pero es claramente bastante menor que la raíz cuadrada de $2$. (Se trata de $1.02190$.) Sin embargo, no importa cuán grande $x$ es, $f(x)$ es siempre el $x$th raíz de un número mayor que $1$, lo $f(x)$ debe ser mayor que $1$.
La forma general que se tiene, entonces, es una función que (en el rango de$1$$\infty$), empieza a $1$, se eleva a un pico en algún punto entre el$2$$4$, y luego se cae hacia la $1$ nuevo (aunque nunca llegar a ella). Incluso podemos encontrar un valor de $x$ en el intervalo de $(2, 4)$ que $f(x) > \sqrt{2}$. Es decir,
$$ f(\sqrt{8}) = \sqrt{8}^{1/\sqrt{8}} $$
¿Cómo se compara esto a $f(2) = f(4) = \sqrt{2}$? A primera vista, es difícil decir. Sin embargo, si nos cube $f(\sqrt{8})$, obtenemos
$$ [f(\sqrt{8})]^3 = \sqrt{8}^{3/\sqrt{8}} $$
En cuenta que el exponente es mayor que $1$ (desde $3 = \sqrt{9} > \sqrt{8}$), por lo
$$ [f(\sqrt{8})]^3 = \sqrt{8}^{3/\sqrt{8}} > \sqrt{8} = [f(2)]^3 = [f(4)]^3 $$
así que (de nuevo, no rigurosamente)
$$ f(\sqrt{8}) > \sqrt{2} = f(2) = f(4) $$
El valor real es de alrededor de $1.44426$.
Como he dicho anteriormente, demostrando que $x^{1/x}$ alcanza un máximo específicamente en $x = e$ requiere cálculo, pero parece que puede no ser exactamente lo que usted desea? Esperando que el anterior sirve como una especie de base intuitiva.
\begin{align} \frac{d}{dx} x^{1/x} & = \frac{d}{dx} e^{\frac{\ln x}{x}} \\ & = \left( \frac{d}{dx} \frac{\ln x}{x} \right) e^{\frac{\ln x}{x}} \\ & = \frac{1-\ln x}{x^2} e^{\frac{\ln x}{x}} \\ & = \frac{1-\ln x}{x^2} x^{1/x} \end{align}
y $f(x)$ alcanza un máximo cuando los que la derivada es igual a $0$, lo que sucede cuando las $1 = \ln x$, lo que sucede cuando las $x = e$. (Podría ser un poco de la circularidad no-me tiene que dar que algunos pensaban -, pero es que usted obtenga el máximo.)
Deje $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$$f(x)=e^x-x^e$.
A continuación,$f^\prime(x)=e^x-ex^{e-1}=e(e^{x-1}-x^{e-1})$$f^{\prime\prime}(x)=e(e^{x-1}-(e-1)x^{e-2})=e(e^{x-1}-ex^{e-2}+x^{e-2})$. Por lo tanto $f^{\prime}(e)=0$$f^{\prime\prime}(e)=e^{e-1}>0$. Por lo $f$ tiene un local minimim en $e$.
Desde $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$, lo $f$ logra su absolut mínimo en $x=e$,$0$.
A continuación, $f(x)\ge 0$ todos los $x\in\mathbb{R}^+$.
Aquí es un enfoque diferente, sólo por el bien de la variedad, que podría ser más riguroso:
Considere la recta tangente a la curva de $y=\ln x$ en el punto de $x=e,y=1$ $$y-1=\frac 1e(x-e)\implies y=\frac xe$$
Sabemos que la curva es cóncava así se encuentra por debajo de la tangente, excepto en el punto de tangencia.
Por lo tanto, $$\ln x\leq\frac xe$$ $$\implies x^e\leq e^x$$
Las razones es que la función exponencial($something^x$) crece mucho más rápido que la función de potencia ($x^{something}$)
Por lo que en general se espera que para cada $a, b > 1$algo como esto
$$a^x \ge x^b$$ at least for $x$ lo suficientemente grande
Ahora yo no creo que sea muy significativo que para el caso especial $a = b = e$ la desigualdad se cumple para todos los $x \ge 0$. Se puede demostrar fácilmente con básicos de cálculo en cualquier caso, pero tal vez eso no satisfacer a tu intuición :)
Te agradecería una explicación más intuitiva que la de un técnico.
Así que, trate de considerar el comportamiento de $2^x$. Cada vez que me aumentar x, por que yo consiga otro (binario) dígitos de mi expresión. Así que rápidamente obtener un número enorme. Si hago doble $x$ I a obtener la forma más dígitos.
Ahora compara eso con $x^2$. Cada vez que el incremento de $x$ I no en general, obtener un dígito adicional de esta expresión. De hecho, en lo $x$ pone muy grandes puede haber ninguna diferencia en el número de dígitos entre dos "adyacentes" los valores de la expresión.
Por ejemplo, el número de dígitos binarios necesarios para representar a $1000^2$ es el mismo que el número de representar a $1001^2$. De hecho, es de 10 dígitos binarios para ambos. Pero $2^{1000}$ requiere de un millar de dígitos binarios. Así que una enorme diferencia en el crecimiento.
Así que podemos ver una exponenciación función crece mucho más rápido que la de la plaza de la función.
Si dígitos binarios no son su "cosa", a continuación, use la base de $10$ y compare $10^x$$x^{10}$. Es el mismo argumento.
Ahora bien, si consideras que tu solicitud específica acerca de la $e^x$ $x^e$ debería ver, intuitivamente, que esta es una situación similar en términos de crecimiento relativo. Ya no tenemos más la comodidad de los dígitos binarios, pero es bastante claro que el mismo razonamiento se sostiene.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
