Prokhorov métrica vs el total de la variación de la norma

Question

Deje $(S,d)$ ser un espacio métrico y deje $\mathcal P(S)$ denotar el espacio de Borel medidas de probabilidad en $S$ dotado de la Prokhorov métrica $\pi:\mathcal P(S)\times \mathcal P(S)\to \mathbb R_+$ dada por $$ \pi(P,Q):=\inf\{\varepsilon\geq 0:P(F)\leq(Q, F^\varepsilon)+\varepsilon \text{ para todo cerrado } F\subconjunto S\} $$ donde el $\varepsilon$-inflación de un conjunto es determinado por $ F^{\varepsilon} = \{x\in S:d(x,F)<\varepsilon\}.$

Otra medida útil en $\mathcal P(S)$ es inducida por la variación total de la norma, es decir, $$ \rho(P,Q):=\sup\limits_{A\in \mathfrak B(S)}|P(a) - P(A)| $$ donde $\mathfrak B(S)$ es el Borel $\sigma$-álgebra en $(S,d)$. Me pregunto si hay alguna interesante de las relaciones entre estas dos métricas, $\pi$$\rho$. En particular, sé que la convergencia en $\rho$ implica la debilidad de la convergencia y, por lo tanto si $S$ es separable de lo que implica la convergencia en $\pi$.

Me pregunto, sin embargo, si bajo algunos supuestos adicionales es posible derivar algunos no trivial límites en $\rho$ si sé límites superiores en la $\pi$. O al menos, si es posible-límite superior $|P(F) - Q(F)|$ cerrados $F$$\pi$.

Answer 1

En la métrica de los espacios, la Prokhorov métrica puede ser siempre limitada por la variación total de métricas. Si $S$ es finito, puede vinculado a la variación total de la métrica por la Prokhorov métrica a través de la Wasserstein métrica.

Más métricas y de sus relaciones (incluyendo los de arriba) están muy bien summariced en Gibbs A. L. y Su F. E., En la Elección y Delimitación de la Probabilidad de Métricas, Estadísticas Internacionales de la Revisión de los 70 (2002), pp 419-435.

Answer 2

En general, saber cosas acerca de $\pi$ no puede decir mucho acerca de $\rho$; la debilidad de la convergencia es mucho más fácil de lograr que la variación total de la convergencia.

Por ejemplo, si $S$ es no-espacio discreto, $x$ es un punto límite, y $x_n \to x$ es una secuencia de con $x_n \ne x$ todos los $n$, entonces el punto de masas $\delta_{x_n}$ satisfacer $\pi(\delta_{x_n}, \delta_x) \to 0$. (De hecho, $\pi(\delta_{x_n}, \delta_x) = d(x_n, x)$.) Pero tenemos $\rho(\delta_{x_n}, \delta_x) = 1$ por cada $n$.