Cómo calcular el $\int\frac{1}{x + 1 + \sqrt{x^2 + 4x + 5}}\ dx$?

Question

Cómo calcular $$\int\frac{1}{x + 1 + \sqrt{x^2 + 4x + 5}}dx?$$ I really don't know how to attack this integral. I tried $u=x^2 + 4x + 5$, pero fracasó miserablemente. Ayuda por favor.

Answer 1

\begin{align} \int\frac1{x+1+\sqrt{x^2+4x+5}}\ dx&=\int\frac1{x+1+\sqrt{(x+2)^2+1}}\ dx\\ &\stackrel{\color{red}{[1]}}=\int\frac{\sec^2y}{\sec y+\tan y-1}\ dy\\ &\stackrel{\color{red}{[2]}}=\int\frac{\sec y}{\sin y-\cos y+1}\ dy\\ &\stackrel{\color{red}{[3]}}=\int\frac{1+t^2}{t(1+t)(1-t^2)}\ dt\\ &\stackrel{\color{red}{[4]}}=\int\left[\frac1{t}-\frac1{2(t+1)}-\frac1{2(t-1)}-\frac{1}{(t+1)^2}\right]\ dt. \end{align} El resto es tuyo.

---

Notas :

$\color{red}{[1]}\;\;\;$Puesto $x+2=\tan y\;\Rightarrow\;dx=\sec^2y\ dy$.

$\color{red}{[2]}\;\;\;$Multiplicar por $\dfrac{\cos y}{\cos y}$.

$\color{red}{[3]}\;\;\;$Uso de Weierstrass de sustitución, $\tan\frac{y}{2}=t$.

$\color{red}{[4]}\;\;\;$Uso parcial de las fracciones de descomposición.

Answer 2

$$\int\frac{1}{x+1+\sqrt{x^{2}+4x+5}}dx=\int\frac{(x+1)-\sqrt{x^{2}+4x+5}}{-2x-4}$$ $$=\frac{-1}{2}\int\frac{x+1}{x+2}dx-\frac{1}{2}\int\frac{\sqrt{x^{2}+4x+5}}{x+2}dx$$

La primera integral puede ser tratado, pero notando:

$$\int\frac{x+1}{x+2}dx=\int1dx-\int\frac{1}{x+2}dx$$

La segunda integral se manejan de la siguiente manera:

$$\int\frac{\sqrt{x^{2}+4x+5}}{x+2}dx=\int\frac{\sqrt{(x+2)^{2}+1}}{x+2}dx$$

Deje $x+2=\tan(u)$, entonces:

$$\int\frac{\sec^{3}(u)}{\tan(u)}du=\int\sec^{2}(u)\csc(u)=\tan(u)\csc(u)+\int\csc(u)du$$

Answer 3

$$\frac1{x+1+\sqrt{x^2+4x+5}}=-\frac{x+1-\sqrt{x^2+4x+5}}{2(x+2)}$$

$$=-\frac{x+2-1-\sqrt{x^2+4x+5}}{2(x+2)}$$

$$=-\frac12+\frac1{2(x+2)}+\frac{\sqrt{(x+2)^2+1}}{2(x+2)}$$

Establecimiento $x+2=\tan y,$ $$\int\frac{\sqrt{(x+2)^2+1}}{(x+2)}\ dx=\int\frac{\sec y}{\tan y}\sec^2y\ dy$$

$$=\int\frac{dy}{\cos^2y\sin y}=\int\frac{\sin y\ dy}{\cos^2y(1-\cos^2y)}$$

Set $\displaystyle\cos y=u$

Answer 4

Otro enfoque : (El más corto)

El uso de Euler de sustitución mediante el establecimiento $t-x=\sqrt{x^2+4x+5}$, obtendremos $x=\dfrac{t^2-5}{2t+4}$ $dx=\dfrac{t^2+4t+5}{2(t+2)^2}\ dt$ , entonces la integral resulta ser $$ -\int\dfrac{t^2+4t+5}{2(t+2)(t+3)}\ dt=\int\left[\frac1{t+3}-\frac1{2(t+2)}-\frac12\right]\ dt. $$ La última parte utiliza parcial fracción de la descomposición y el resto debe ser fácil de resolver.