¿Te resulta familiar este gráfico basado en racionales?

Question

¿Alguien se ha encontrado con un gráfico como éste?

Los círculos negros representan los racionales en $(0,1)$ y sus alturas son aproximadamente proporcionales al recíproco del cuadrado del denominador de sus términos más bajos. Las líneas rojas se dibujan a ojo sobre el patrón de los puntos negros.

Esto surgió al tratar de crear una distribución de probabilidad en los racionales donde $$\Pr\left(X = \frac{a}{b}\right) = \frac{\zeta(k)}{\zeta(k-1) - \zeta(k) } \left(\frac{1}{b}\right)^k$$ donde $0 \lt a \lt b$ con $a$ y $b$ coprima y donde $k \gt 2$ .

Las líneas rojas se parecen a la mitad izquierda del árbol de Stern-Brocot, salvo que los puntos con diferentes denominadores están a diferentes alturas.

Answer 1

Como menciona Gerry, esto es (aproximadamente) el cuadrado de La función de Thomae También conocida como la función de palomitas, la función de gotas de lluvia, la función de nubes contables, la función de Dirichlet modificada, la función de regla, la función de Riemann, o las Estrellas sobre Babilonia...

Answer 2

Es sorprendente que nadie haya mencionado Círculos Ford . Las alturas de los centros de los círculos de Ford son exactamente proporcionales a los recíprocos de los denominadores.

Supongamos que el contenido de la sección de área total de los círculos de Ford es correcto. Entonces, si se elige al azar un punto en el interior de uno de los círculos de Ford correspondiente a un número racional en el intervalo $[0,1]$ la probabilidad de que esté en una región cualquiera es proporcional al área de la región, entonces la probabilidad de que esté en el círculo correspondiente a un determinado número racional con denominador $k$ es $$ \frac{\zeta(4)}{\zeta(3)} \left(\frac 1 k\right)^4. $$