¿Cómo puede el $\mathbb Q$ ser contables, cuando no hay "siguiente" número racional?

Question

Entiendo que esta la prueba de que $\mathbb{Q}$ contables:

Los números racionales se organizan así: $$\displaystyle \frac 0 1, \frac 1 1, \frac {-1} 1, \frac 1 2, \frac {-1} 2, \frac 2 1, \frac {-2} 1, \frac 1 3, \frac 2 3, \frac {-1} 3, \frac {-2} 3, \frac 3 1, \frac 3 2, \frac {-3} 1, \frac {-3} 2, \frac 1 4, \frac 3 4, \frac {-1} 4, \frac {-3} 4, \frac 4 1, \frac 4 3, \frac {-4} 1, \frac {-4} 3 \ldots$$ Está claro que cada número racional aparecerá en algún lugar de esta lista. Por lo tanto es posible establecer un bijection entre cada número racional y su posición en la lista, lo cual es un elemento de $\mathbb N$. $\square$

Sin embargo, dado cualquier número racional, decir $3$, no hay ningún "siguiente" número racional, como $\mathbb Q$ es denso en $\mathbb R$. Pero, dado cualquier número natural, se puede determinar el siguiente número natural (es decir, su sucesor, dado por $S(n)=n+1$).

Esto parece contradecir el hecho de que hay un bijection entre el$\mathbb Q$$\mathbb N$. Podría alguien aclarar esto?

(Perdóname por cualquier malentendido/errores - soy un aficionado en la teoría de conjuntos)

Answer 1

La 'siguiente' racional después de $\frac{3}{1}=3$, en este contexto, es $\frac{3}{2}$. Si te gusta deje $\varphi$ ser el bijection $\varphi:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Q}$. Entonces tenemos

$$\varphi(12)=\frac{3}{1}=3$$ y tal vez podríamos escribir $$S^\varphi_{\mathbb{Q}}(3):=\varphi(S(\varphi^{-1}(3)))=\varphi(S(12))=\varphi(13)=\frac{3}{2},$$ donde $S:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ es la función sucesor $S(n)=n+1$ y que podríamos llamar $S^\varphi_\mathbb{Q}$ es el sucesor de la función de $\mathbb{Q}$ con respecto al $\varphi$ definido por

$$S_\mathbb{Q}^\varphi:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q},\,\,q\mapsto \varphi(S(\varphi^{-1}(q)))$$

Answer 2

Primero vamos a hacer una pregunta diferente.

¿Cómo puede el $\Bbb Z$ ser contables, si cada número es un sucesor de los números enteros, mientras que en $\Bbb N$ hay un número que no es un sucesor?

La respuesta a esta pregunta, y la respuesta a la pregunta de por qué es $\Bbb Q$ contables son la misma respuesta: Porque un bijection no se conserva el orden.

La cardinalidad de un conjunto es lo que queda cuando "sacudir" cualquier estructura que tenga o pudiera haber tenido. Es decir, la cardinalidad es determinado por las funciones que no son necesariamente la conservación de cualquier estructura que sea (de la orden, de adición, multiplicación, etc.).

Es cierto que es más difícil ver por qué $\Bbb Q$ es contable en comparación a $\Bbb Z$, especialmente cuando se $\Bbb R$ no es contable y ambos son densos conjuntos ordenados. Pero si usted entiende por qué $\Bbb Z$ es contable, entonces usted no debería tener dificultades para entender el caso de $\Bbb Q$: se puede demostrar que existe un bijection entre el$\Bbb Q$$\Bbb N$, y por lo tanto es contable.

Answer 3

Cuando usted dice "siguiente", que son, probablemente, la transferencia de una función de $\Bbb N$ que $\Bbb Q$ carece, es decir, bien orderedness en el orden natural.

Pero $\Bbb Q$ se pueden dar otras órdenes que permiten que cada elemento tiene un sucesor, y su parcial organizado lista es un caso en punto. Cualquier bijection con los naturales podría inducir a un bien de pedidos en $\Bbb Q$ simplemente la ejecución de la orden en los números naturales en sus imágenes. Por el contrario, puede crear un orden en los naturales por la búsqueda de un bijection de $\Bbb Q$ $\Bbb N$ y, a continuación, el uso de $\Bbb Q$'s orden natural para establecer un nuevo orden en los números naturales en la que los elementos no tienen sucesores.

Tener sucesores de los elementos en un orden particular, simplemente no tiene mucho que ver con la cardinalidad. Usted puede tener conjuntos de gran tamaño, donde los elementos tienen sucesores, y los grupos de gran tamaño que no.

La densidad y la cardinalidad son dos tipos distintos de "grandeza." La falta de sucesores no causa la cardinalidad se salgan de control. Sólo se habla de la organización del conjunto ordenado.

Answer 4

¿Cómo puede Q sea contables, cuando no hay "siguiente" número racional ?

La razón por la que no hay "siguiente" número racional no implica que el conjunto es incontable. Sólo

imaginemos, por ejemplo, la siguiente función: $f(n)=\begin{cases}0,\qquad n=0\\1/n,\quad n\neq0\end{cases}$. Obviamente, entonces, $f\big(\mathbb Z\big)$ es

contables. Sin embargo, $0\in f\big(\mathbb Z\big)$ no posee un "siguiente" $\big($o incluso "anterior"$\big)$ elemento $f\big(\mathbb Z\big)$,

a pesar del hecho de que lo hace en $\mathbb Z$.

Answer 5

Básicamente el problema es que no se distinguir entre el conjunto ordenado $(\mathbb{Q},<)$ y el conjunto de $\mathbb{Q}$. Observe que no se puede decir si un conjunto es denso, bien ordenada, etc. o no, esto sólo está definida para los conjuntos ordenados. Tenemos $\mathbb{N} \cong \mathbb{Q}$ (en la categoría de conjuntos) y $(\mathbb{N},<) \not\cong (\mathbb{Q},<)$ (en la categoría de conjuntos ordenados).