Cómo utilizar Euler-Lagrange cuando Lagrange es $L=\sqrt{t}\sqrt{1+(dy/dt)^2}$

Question

En este Lagrangiano del problema, la acción es $$S = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{t}\sqrt{1+\dot{y}^2} \,\,dt$$ where $\dot{y} = dy/dt$ and $t_1$ and $t_2$ son algunos de los puntos fijos.

Traté de resolver este problema a través de Euler-Lagrange:

$$L = \sqrt{t}\sqrt{1+\dot{y}^2},$$ lo $\frac{\partial{L}}{\partial y} = 0$ y, por tanto, $\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = K$ donde $K$ es una constante.

Ahora, después de algunas sustituciones, me sale: $$2K\sqrt{t} + C = \sqrt{1+\dot{y}^2}$$ where $C$ es una constante.

Podemos plaza LHS y RHS y obtener: $$(2K\sqrt{t} + C)^2 -1 = \dot{y}^2.$$

Y entonces podemos sustituir $u = \dot{y}$ y obtenemos:

$$\sqrt{(2K\sqrt{t} + C)^2 -1}\,\,dx = dy.$$

Pero la integración de los resultados de esta en una extraña respuesta, porque tengo una solución que dice que la respuesta es de la forma $2\sqrt{A(t-A)}+B$. ¿Qué se debe hacer para lograr esta solución?

Answer 1

El Lagrangiano siempre está dada por,

$$L=\sqrt{t+\dot{y}^2t}$$

Claramente, $\partial L/\partial y = 0$. Calculamos el segundo término de Euler-Lagrange las ecuaciones:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = \frac{d}{dt} \left( \frac{t\dot{y}}{\sqrt{t+\dot{y}^2 t}} \right) = \frac{t(\dot{y} + \dot{y}^3 + 2t\ddot{y})}{2[t(1+\dot{y}^2)]^{3/2}} = 0$$

a partir de la cual podemos concluir,

$$\frac{t\dot{y}}{\sqrt{t+\dot{y}^2t}} = a, \quad a \in \mathbb{C}.$$

Re-organización y cuadrado, obtenemos $t^2 \dot{y}^2 = a^2 \left(t+t\dot{y}^2 \right)$. Este es un segundo grado del polinomio en $\dot{y}$, y resolviendo $\dot{y}$ obtenemos,

$$\dot{y} = \pm \frac{a}{\sqrt{t-a^2}}$$

Ahora directamente integrar por sustitución:

$$y(t)=\pm \int dt\,\frac{a}{\sqrt{t-a^2}} = \pm 2a \sqrt{t-a^2} + C$$