¿Cuál es la utilidad de las matrices?

Question

Tengo matrices para mi programa de estudios pero no sé de dónde sacan provecho. Incluso le pregunté a mi profesora, pero tampoco tiene respuesta. ¿Alguien puede decirme dónde se usan? ¿Y por favor, también me puede dar un ejemplo de cómo se utilizan?

Answer 1

Trabajo en el campo de la matemática aplicada, así que le daré el punto de vista de un matemático aplicado.

Hago EDP numéricas. Básicamente, tomo una ecuación diferencial (una ecuación cuya solución no es un número, sino una función, y que implica la función y sus derivadas) y, en lugar de encontrar una solución analítica, trato de encontrar una aproximación del valor de la solución en algunos puntos (piense en una cuadrícula de puntos). Es un poco más profundo que esto, pero no es el punto aquí. La cuestión es que al final me encuentro con que tengo que resolver un sistema lineal de ecuaciones que suele ser de un tamaño enorme (del orden de millones). Es un número bastante grande de ecuaciones para resolver, diría yo.

¿Dónde entran en juego las matrices? Bueno, como sabes (o tal vez no, no lo sé) un sistema lineal puede verse en forma matricial-vectorial como

$$\text{A}\underline{x}=\underline{b}$$ donde $\underline{x}$ contiene las incógnitas, A los coeficientes de las ecuaciones y $\underline{b}$ contiene los valores de los lados derechos de las ecuaciones. Por ejemplo, para el sistema

$$\begin{cases}2x_1+x_2=3\\4x_1-x_2=1\end{cases}$$ tenemos

$$\text{A}=\left[ \begin{array}{cc} 2 & 1\\ 4 & -1 \end{array} \right],\qquad \underline{x}= \left[\begin{array}{c} x_1\\ x_2 \end{array} \right]\qquad \underline{b}= \left[\begin{array}{c} 3\\ 1 \end{array} \right]$$

Por lo que he dicho hasta ahora, en este contexto las matrices parecen sólo una forma elegante y compacta de escribir un sistema de ecuaciones, meras tablas de números.

Sin embargo, para resolver este sistema rápidamente no basta con utilizar una calculadora con una gran memoria RAM y/o una alta velocidad de reloj (CPU). Por supuesto, cuanto más potente sea la calculadora, más rápido obtendrás la solución. Pero a veces, más rápido puede significar días (o más) si se aborda el problema de forma equivocada, incluso si se trata de un Gen Azul.

Así que, para reducir los costes computacionales, hay que idear un buen algoritmo, una idea inteligente. Pero para ello, tienes que explotar alguna propiedad o alguna estructura de tu sistema lineal. Estas propiedades están codificadas de alguna manera en los coeficientes de la matriz A. Por lo tanto, el estudio de las matrices y sus propiedades es de crucial importancia para tratar de mejorar la eficiencia de los solucionadores lineales. Reconocer que la matriz goza de una propiedad particular puede ser crucial para desarrollar un algoritmo rápido o incluso para demostrar que existe una solución, o que la solución tiene alguna propiedad agradable.

Por ejemplo, consideremos el sistema lineal

$$\left[\begin{array}{cccc} 2 & -1 & 0 & 0\\ -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right]$$ que corresponde (en forma de ecuación) a

$$\begin{cases} 2x_1-x_2=1\\ -x_1+2x_2-x_3=1\\ -x_2+2x_3-x_4=1\\ -x_3+2x_4=1 \end{cases}$$

Echando un vistazo a la matriz, puedo afirmar que este sistema tiene una solución y, además, la solución es no negativa (lo que significa que todas las componentes de la solución son no negativas). Estoy bastante seguro de que no podrías sacar esta conclusión simplemente mirando el sistema sin intentar resolverlo. También puedo afirmar que para resolver este sistema sólo se necesitan 25 operaciones (siendo una sola operación de suma/resta/división/multiplicación). Si construyes un sistema más grande con el mismo patrón (2 en la diagonal, -1 en la diagonal superior e inferior) y pones un lado derecho con sólo entradas positivas, todavía puedo afirmar que la solución existe y es positiva y el número de operaciones necesarias para resolverlo es sólo $8n-7$ , donde $n$ es el tamaño del sistema.

Además, ya se han señalado otros campos en los que las matrices son ladrillos importantes y desempeñan un papel importante. Espero que este hilo te haya dado una idea de por qué vale la pena estudiar las matrices. =)

Answer 2

Las matrices son una forma útil de representar, manipular y estudiar mapas lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita (si se han elegido las bases).
Las matrices también pueden representar formas cuadráticas (es útil, por ejemplo, en análisis para estudiar las matrices hessianas, que nos ayudan a estudiar el comportamiento de los puntos críticos).

Por lo tanto, es una herramienta útil del álgebra lineal.

Además, el álgebra lineal es una herramienta crucial en matemáticas.
Para convencerte, hay muchos problemas lineales que puedes estudiar con pocos conocimientos de matemáticas. Por ejemplo, sistemas de ecuaciones lineales, algunos códigos de corrección de errores (códigos lineales), ecuaciones diferenciales lineales, secuencias de recurrencia lineal...
También creo que el álgebra lineal es un marco natural de la mecánica cuántica.

Answer 3

Teoría de los gráficos --en términos generales, el estudio de las figuras de conexión de puntos-- utiliza matrices para codificar las estructuras de adyacencia e incidencia. Sin embargo, las matrices no se limitan a la contabilidad, sino que tienen usos computacionales. A partir de las potencias de la matriz de adyacencia, para un ejemplo sencillo, se puede leer el número de caminos disponibles entre dos puntos cualesquiera.

Teoría de los gráficos "espectrales" deriva información teórica de grafos a partir de resultados teóricos de matrices (en concreto, "valores propios" y "vectores propios" -por cierto, el conjunto de valores propios es el "espectro" de una matriz, de ahí lo de "espectral"- que proceden de la interpretación de mapas lineales de matrices). Mi propio trabajo genera coordenadas para las realizaciones geométricas "simétricas" de los grafos -pensemos en los sólidos platónicos y arquimedianos- a partir de este tipo de análisis de sus matrices de adyacencia.

Answer 4

Las matrices son una herramienta útil para estudiar los grupos finitos. Todo grupo finito tiene una representación como conjunto de matrices invertibles; el estudio de dichas representaciones se llama, bueno, Teoría de la Representación.

Uno de los principales teoremas de todos los tiempos en la teoría de grupos finitos es la clasificación de todos los grupos simples finitos. Se trata de los componentes básicos de la teoría de grupos, la versión teórica de los números primos. La "demostración" ha llevado muchas décadas a los matemáticos, y no podría haberse completado sin considerar estos grupos como grupos de matrices. Sólo hay que abrir el ATLAS de grupos finitos o se preguntan qué es un grupo de tipo Lie es, ¡para entender mi punto!

(Por supuesto, el álgebra lineal es excepcionalmente útil, etc., pero ése es un tema que debería tratar un ingeniero...)

Answer 5

En el sentido más general, las matrices (y un caso especial muy importante de las matrices, los vectores) proporcionan una forma de generalizar las ecuaciones de una sola variable a ecuaciones con un número arbitrario de variables. Algunas de las reglas cambian por el camino, de ahí la importancia de aprender sobre las matrices -más concretamente, aprender Álgebra lineal o el álgebra de las matrices.